8.7. Оптимізація сітьових графіків

Оптимізація сітьових графіків проводиться з метою поліпшення плану комплексу робіт. Така задача виникає, коли критичний шлях не вкладається в необхідні або задані терміни виконання і необхідно вкладання додаткових ресурсів або перерозподіл наявних. Інше завдання полягає в тому, що якщо час виконання всього комплексу робіт укладається в заданий термін з надлишком, то, розтягнувши деякі роботи, ми можемо заощадити деякі засоби.

При цьому можна виділити наступні основні принципи оптимізації:

1) форсування критичних робіт, при якому змінюється довжина критичного шляху;

2) послідовне виконання робіт замінюється паралельним;

3) перерозподіл ресурсів між роботами критичного і некритичного шляхів;

4) організаційні та технологічні зміни виконання робіт.

Дамо постановку деяких завдань оптимізації в формульного запису.

Завдання 1. Ооптимізація з вкладенням додаткових коштів. Комплекс складається з робіт a₁, а₂, ..., а_n з часом виконання t₁, t₂, ..., t_n. Відомий критичний шлях

_,

де Т₀ — заданий термін виконання комплексу робіт. Причому сумовування поширюється на критичні роботи.

Відомо, що вкладення певної суми х додаткових коштів в роботу а_i, скорочує час виконання з t_i до t_i = f (x) <t_i.

Запитується, які додаткові кошти х₁, х₂, ..., х_n слід вкласти в кожну роботу, щоб, по-перше, термін виконання комплексу був не вище заданого Т₀ і, по-друге, сума вкладених коштів досягала мінімуму.

Таким чином, потрібно визначити невід’ємні значення змінних x₁, х₂, ..., х_n (додаткові вкладення) так, щоб виконувалася умова

_,

де сумовування виконується за всіма критичними роботами нового шляху (отриманого після перерозподілу коштів і зміни часів), і щоб при цьому загальна сума додаткових вкладень була мінімальна:

_.

У загальному вигляді поставлена задача відноситься до класу задач нелінійного програмування. Однак, якщо обмежитися порівняно невеликими змінами плану (такими, при яких час виконання робіт приблизно лінійно залежить від вкладених додаткових коштів, а критичний шлях не змінюється), поставлена задача стає задачею лінійного програмування і може бути вирішена вже відомими нам засобами.

Завдання 2. Оптимізація з перерозподілом наявних коштів. Сукупність робіт a₁, а₂, ..., а_n з часом виконання t₁, t₂, ..., t_n. Час виконання комплексу робіт виражається формулою

На некритичних роботах є деякі резерви часу. Користуючись цими резервами, тобто перекидаючи якісь кошти з некритичних робіт на критичні, можна зменшити час виконання критичних робіт і тим самим термін виконання всього комплексу.

Є певний незмінний запас рухомих засобів В, який розподілено між роботами а₁, а₂,..., а_n так, що кожній роботі відповідає кількість рухомих засобів, рівне відповідно b₁, b₂,..., b_n:

Відомо, що кількість коштів х> 0, зняте з роботи а_i, збільшує час її виконання з t_i до

_,

а кількість засобів х_i, вкладене додатково в роботу а_i, зменшує час її виконання до t^’’_i= <t_i.

Питається: як треба перерозподілити наявні рухомі засоби В між роботами для того, щоб термін виконання комплексу був мінімальним?

Позначимо x_i — кількість рухомих засобів, перекинутих на роботу а_i (х_i негативно, якщо з роботи знімається якась кількість коштів).

Величини x_i повинні задовольняти обмеженням

_{. (8. 1)}

Природно, що сума коштів, що знімаються з якихось робіт, повинна дорівнювати сумі коштів, що додаються до інших робіт, так що

_{. (8. 2)}

Після перекидання коштів для тих робіт, на які вони перекидаються, новий час буде дорівнювати

_,

а для тих робіт, з яких кошти знімаються, вони будуть рівні

_.

Загальний термін виконання комплексу робіт буде:

_{, (8. 3)}

де перша сума поширюється на всі роботи, на які переносяться кошти, якщо вони входять в критичний шлях;

друга — на всі роботи, з яких переносяться кошти, якщо вони входять в критичний шлях.

Природно вважати, що перенесення засобів має сенс тільки з некритичних робіт на критичні, при цьому не треба забувати, що некритичні роботи можуть переходити в критичні. Цей факт необхідно враховувати при обчисленні Т, коли в обох сумах беруться до уваги критичні роботи.

Отже, перед нами стоїть завдання: знайти такі значення змінних x_i (i = щоб виконувалися обмеження (8. 1), (8. 2), а функція (8.3) досягала мінімуму.

Завдання ставиться до класу задач нелінійного програмування навіть у випадку, коли функції f_i и — можуть виявитися лінійними. Істотно нелінійним у функції (69) є те, що значення i, j — номери робіт, самі залежать від x_i. Загальних способів вирішення таких завдань не розроблено, однак для деяких випадків можна скласти алгоритми визначення раціонального рішення.

Завдання 3. Оптимізація сітьових графіків з економією вкладених засобів за рахунок зниження темпів виконання окремих робіт на некритичних шляхах. Є комплекс робіт а₁, а₂,..., а_n з часом виконання t_1, t₂,..., t_n. Для цього комплексу знайдений критичний шлях і встановлено, що мінімальний час виконання комплексу Т <Т₀, де Т₀ — заданий термін виконання. Передбачається знизити темпи виконання деяких робіт з тим, щоб термін виконання комплексу довести до заданого значення Т₀; за рахунок цього передбачається отримати економію коштів. Збільшення часу виконання роботи а_i на (тобто доведення часу виконання роботи а_i до t_i + ) вивільняє деякі засоби x_i, які залежать від затримки

Позначимо _i час затримки роботи а_i. Сума часів виконання робіт, що лежать на критичному шляху, не повинна перевищувати Т₀:

Потрібно вибрати такі невід’ємні значення змінних , щоб сума вивільнених коштів досягала максимуму:

Поставлена задача також відноситься до класу задач нелінійного програмування. У випадку, коли мова йде тільки про незначні затримки _i, вдається звести її до задачі лінійного програмування (якщо функції f_i близькі до лінійних в діапазоні можливих значень _i, а критичний шлях при затримках не змінюється).