1. 3. Математичні моделі операцій

Для застосування кількісних методів дослідження в будь-якій області завжди потрібна якась математична модель. При побудові моделі реальне явище (у нашому випадку — операція) неминуче спрощується, схематизується, і ця схема («макет» явища) описується за допомогою того чи іншого математичного апарату. Чим вдаліше буде підібрана математична модель, чим краще вона буде відображати характерні риси явища, тим успішніше буде дослідження і корисніші — виходячи з нього рекомендації.

Загальних способів побудови математичних моделей не існує. У кожному конкретному випадку модель вибирається виходячи з виду операції, її цільової спрямованості, з урахуванням завдання дослідження (які параметри потрібно визначити і вплив яких факторів відобразити). Необхідно також у кожному конкретному випадку розміряти точність і докладність моделі: а) з тією точністю, з якою нам потрібно знати рішення, і б) з тією інформацією, на яку ми сподіваємось або можемо придбати. Якщо вихідні дані, потрібні для розрахунків, відомі неточно, то, очевидно, немає сенсу входити в тонкощі, будувати дуже докладну модель і витрачати час (свій і комп’ютерний) на тонку і точну оптимізацію рішення. На жаль, цим принципом часто нехтують і вибирають для опису явищ занадто детальні моделі.

Математична модель повинна відображати найважливіші риси явища, всі істотні фактори, від яких в основному залежить успіх операції. Разом з тим, модель повинна бути по можливості простою, не «засміченою» масою дрібних, другорядних факторів: їх облік ускладнює математичний аналіз і робить важко сприйнятливими результати дослідження. Дві небезпеки завжди підстерігають укладача моделі: перша — загрузнути в подробицях («з-за дерев не побачити лісу») і друга — занадто обтяжити явище («виплеснути разом з водою і дитину»). Мистецтво будувати математичні моделі є саме мистецтво, і досвід у ньому набувається поступово.

Оскільки математична модель не випливає з непохитністю з опису завдання, завжди корисно не вірити сліпо жодній моделі, а звіряти результати, отримані за різними моделями, влаштовувати як би «суперечку моделей». При цьому одну і ту ж задачу вирішують не один раз, а декілька, користуючись різною системою припущень, різним апаратом, різними моделями. Якщо наукові висновки від моделі до моделі змінюються мало — це серйозний аргумент на користь об’єктивності дослідження. Якщо вони істотно розходяться, треба переглянути концепції, покладені в основу різних моделей, подивитися, яка з них більш адекватна дійсності, у разі потреби — поставити контрольний експеримент. Характерним для дослідження операцій є також повторне звернення до моделі (після того, як перший тур розрахунків вже проведено) для внесення в модель корективів.

Створення математичної моделі — сама важлива і відповідальна частина дослідження, що вимагає глибоких знань не стільки математики, скільки суті модельованих явищ. Як правило, «чисті» математики (без допомоги фахівців в тій області, до якої відноситься завдання) з побудовою моделі справляються погано. У центрі уваги у них виявляється математичний апарат з його тонкощами, а не реальне практичне завдання.

Досвід показує, що найбільш вдалі моделі створюються фахівцями в даній області практики, отримавшим на додаток до основної, глибоку математичну підготовку, або ж колективами, об’єднавшими практиків-фахівців і математиків. Велику користь приносять консультації, що даються математиком, добре знають дослідження операцій, практикам — інженерам, біологам, медикам та ін., що зустрічаються у своїй роботі з необхідністю наукового обґрунтування рішень. Від таких консультацій виграють не тільки практики, але і сам математик, що знайомиться з реальними завданнями з самих різних областей. Для вирішення таких завдань йому нерідко доводиться поповнювати свою освіту, а також розвивати, узагальнювати і модифікувати відомі йому методи.

Математична підготовка фахівця, бажаючого самостійно (без сторонньої допомоги) займатися дослідженням операцій у своїй області практики, повинна бути досить широка. Поряд з класичними розділами математичного аналізу (зазвичай прохідними у вузі) у дослідженні операцій часто застосовуються сучасні, порівняно нові розділи математики, такі, як лінійне, нелінійне, динамічне програмування, теорія ігор і статистичних рішень, теорія масового обслуговування та ін. Деякі поняття про ці розділи математики читач може почерпнути з нашої книги.

Спеціально треба підкреслити необхідність відомостей з теорії ймовірностей — не стільки обширних і глибоких, скільки неформальних, діючих, наявність звички до оперування зі статистичними даними та імовірнісними уявленнями. Особливі вимоги саме до цієї галузі математичних знань пояснюються тим, що більшість операцій проводиться в умовах неповної виразності, і їх хід і результат залежить від випадкових факторів. На жаль, в широких колах фахівців — інженерів, біологів, медиків, хіміків — хороше володіння теорією ймовірностей зустрічається рідко. Її положення і правила часто застосовуються формально, без справжнього розуміння їхнього змісту і духу. Нерідко на теорію ймовірностей дивляться як на якусь подобу «чарівної палички», що дозволяє отримати інформацію «з нічого», з повного незнання. Це обман: теорія ймовірностей дозволяє тільки перетворити інформацію, тобто з відомостей про одні явищах, доступних спостереженню, робити висновки про інші, недоступних. Наявність елементарних відомостей по теорії ймовірностей передбачається у читача цієї книги.

Дуже не хочеться, щоб перерахування розділів математики, що застосовуються в дослідженні операцій, залякало початківця читача і відбило в нього бажання займатися такими завданнями. По-перше, як кажуть, не боги горщики обпалюють, і будь-яким апаратом можна опанувати, якщо він справді потрібен. По-друге, не в кожній задачі застосовуються всі перераховані розділи; знайомитися можна не з усіма відразу, а з самими необхідними. Які знання з математики для яких завдань потрібні — можна знову ж таки дізнатися з цієї книги.

При побудові математичної моделі може бути (залежно від виду операції, завдань дослідження і точності вихідних даних) використано математичний апарат різної складності. У найпростіших випадках явище описується простими, алгебраїчними рівняннями. У більш складних, коли потрібно розглянути явище в динаміці, застосовується апарат диференціальних рівнянь (звичайних або з частинними похідними). У найбільш складних випадках, коли розвиток операції і її результат залежать від великого числа складно переплітаючих між собою випадкових факторів, аналітичні методи взагалі відмовляються служити, і застосовується метод статистичного моделювання (Монте-Карло). У першому, грубому наближенні ідею цього методу можна описати так: процес розвитку операції, з усіма супроводжуючими його випадковостями, як би «копіюється», відтворюється на машині (ЕОМ).

У результаті виходить один примірник («реалізація») випадкового процесу розвитку операції з випадковим ходом і результатом. Сама по собі одна така реалізація не дає підстав до вибору рішення, але, отримавши безліч таких реалізацій, ми обробляємо його як звичайний статистичний матеріал (звідси і термін «статистичне моделювання»), знаходимо середні характеристики процесу і отримуємо уявлення про те, як в середньому впливають на нього умови задачі і елементи рішення.

У дослідженні операцій широко застосовуються як аналітичні, так і статистичні моделі. Кожен з цих типів має свої переваги і недоліки. Аналітичні моделі більш грубі, враховують менше число факторів, завжди вимагають деяких допущень і спрощень. Зате результати розрахунку за ним легші, доступні для огляду, виразніше відображають притаманні явищу основні закономірності. А, головне, аналітичні моделі більше пристосовані для пошуку оптимальних рішень.

Статистичні моделі, в порівнянні з аналітичними, більш точні і докладні, не вимагають настільки грубих допущень, дозволяють врахувати велике (у теорії — необмежено велике) число чинників. Але і в них є свої недоліки: громіздкість, погана оглядовість, велика витрата машинного часу, а головне, крайня трудність пошуку оптимальних рішень, які доводиться шукати «на дотик», шляхом здогадів та проб.

Молоді фахівці, чий досвід в дослідженні операцій малий, маючи в розпорядженні обчислювальні машини, часто без особливої потреби починають досліджування з побудови статистичної моделі, намагаючись врахувати в ній якомога більше факторів. Вони забувають, що побудувати модель і зробити по ній розрахунки — це пів справи; важливіше зуміти проаналізувати результати і перевести їх у ранг «рекомендацій».

Найкращі роботи в галузі дослідження операцій засновані на спільному застосуванні аналітичних і статистичних моделей. Аналітична модель дає можливість в загальних рисах розібратися в явищі, намітити як би «контур» основних закономірностей. Будь-які уточнення можуть бути отримані за допомогою статистичних моделей.

На закінчення скажемо кілька слів про так зване «імітаційне» моделювання. Воно застосовується до процесів, в хід яких може час від часу втручатися людська воля. Людина (чи група людей), керівник операцією, може, в залежно від сформованої обстановки, приймати ті чи інші рішення, подібно до того, як шахіст, дивлячись на дошку, вибирає свій черговий хід. Потім приводиться в дію математична модель, яка показує, яка очікується зміна обстановки у відповідь на це рішення і до яких наслідків воно приведе через деякий час. Наступне «поточне рішення» приймається вже з урахуванням реальної нової обстановки і т.д. У результаті багаторазового повторення такої процедури керівник як би «набирає досвід», вчиться на своїх і чужих помилках і поступово вивчається приймати правильні рішення — якщо не оптимальні, то майже оптимальні. Такі процедури, відомі під назвою «ділових ігор», стали останнім часом дуже популярними і, безсумнівно, корисні в справі підготовки керуючих кадрів.