7.6. Приклади розв’язку задач методом статистичних випробувань

ЗАДАЧА 1. Проведено N = 1000 експериментів. Передбачається, що при кожному експерименті випадкова величина з’являється з ймовірністю р=0,3. Після реалізації фіксується р* частота події, яка полягає у настанні події А.

Знайти ймовірність β того, що частота події р* відрізняється від імовірності р менше, ніж на ε=0,02.

Формула, що використовується

Розв’язок. P=0,3, N=100, ε=0,02.

Методичні вказівки. В даній задачі ми вважаємо, що імовірність р нам відома. Однак на практиці імовірність нам не відома, та й самі експерименти ми проводимо для її визначення. Тоді для оцінки точності метода Монте-Карло можна замість р підставити частоту р* події А в даній серії експериментів.

Висновки. Якщо ми проведемо 1000 експериментів, фіксуючи результати та обчисливши частоту p* настання події, то з ймовірністю β=0,83 будемо стверджувати, що точність результатів буде дорівнювати ε=0,02.

ЗАДАЧА 2. Для дослідження стану технічних пристроїв в з’єднанні була застосована вибіркова перевірка технічних пристроїв: з 180 перевірених зразків 36 виявилося в незадовільному стані. Знайти β та оцінити надійність результатів β при точності 5% (ε = 0,05).

Розв’язок. n =180, m =36, ε =0,05.

Знаходимо p*: р* = =0,2,

_.

Знаходження надійності β за таблицею функцій Лапласа Ф(x).

За таблицею для x =1,67 β =90.

За таблицею Ф(1,67) ≈0,45.

Висновки. Згідно проведеному вибірковому обстеженню можна стверджувати з надійністю 0,9, що в з’єднанні від 15% до 25% особистої техніки знаходиться в незадовільному стані.

Найбільш імовірно — 20%.

ЗАДАЧА 3. Скільки потрібно перевірити одиниць деталей на складі в з’єднанні, щоб оцінити долю, яка знаходиться в незадовільному стані, з надійністю 0,95 при точності 5% (ε=0,05). При попередньому дослідженні було установлено її значення, рівне 0,2(дивись задачу 2).

Розв’язок. Відомі р* =0,2, ε=0,05, β = 0,95. Знайдемо x при β = 0,95;

З таблиці функцій Ф(x) знайдемо x = 1,96.

Обчислимо по формулі:

Висновки. При вибірці об’єму N=256 знайдені результати обстеження будуть практично надійні.

ЗАДАЧА 4. Для визначення імовірності влучення із зброї робиться 80 незалежних пострілів по цілі. Зареєстровано 55 влучень. Оцінити імовірність влучення і знайти її послідовність при точності ε=0,1.

Розв’язок.

1. Обчислення наближеного значення імовірності: вона приблизно

дорівнює частоті влучень

_{Р* = =0,7.}

2. Обчислюємо по формулі

Для чого необхідно обчислити (для нашого прикладу)

Тоді * = ,

Питання для самоперевірки:

1. Що являє собою модель?

2. Для чого застосовується моделювання?

3. Навести класифікацію моделей.

4. Який вид моделей переважно застосовують у дослідженні операцій?

5. Пояснити структуру математичної моделі.

6. Проаналізувати складові процесу моделювання.

7. Прокоментувати застосування математичного апарату для створення математичної моделі.

8. Які вимоги висувають до математичної моделі?

9. Що розуміють під імітаційним моделюванням?

10. Навести критерії застосування імітаційного моделювання, його переваги та недоліки.

11. Для чого використовують ділові ігри?

12. В чому полягає ідея методу Монте-Карло?

13. Які особливості застосування методу Монте-Карло в задачах дослідження операцій?

14. Сформулювати поняття жеребу.

15. Навести способи одержання випадкового числа R.

16. Імітація випадкових впливів на ЕОМ.

17. Оцінка точності характеристик, отриманих методом статистичних випробувань.

18. Необхідна кількість реалізацій методу статистичних випробувань.