7.2. Метод статистичних випробувань

Більшість моделей, що реалізуються на ЕОМ, має імовірнісний характер, і для їх дослідження застосовується метод статистичних випробувань (метод Монте-Карло). Цей метод застосовується давно, але широке розповсюдження отримав тільки з появою ЕОМ великої продуктивності.

Ідея методу статистичних досліджень проста і полягає в наступному.

Замість того, щоб описувати випадкове явище за допомогою аналітичних залежностей, проводиться «розіграш» — моделювання випадкового явища за допомогою деякої процедури, що дає випадковий результат. В результаті «розіграшу» отримуємо одну реалізацію випадкового явища. Проводячи такий «розіграш» велику кількість разів, отримуємо статистичний матеріал — множину реалізацій випадкового явища — який можна обробити звичайними методами математичної статистики.

По суті, методом «розіграшу» може бути розв’язана будь-яка імовірнісна задача; однак виправданим він стає лише у випадку, коли процедура «розіграшу» простіша, ніж застосування аналітичних, обчислювальних методів.

Розглянемо таку імовірнісну задачу. Нехай, наприклад, працює система масового обслуговування (СМО), але процес, що протікає в ній, не марковський. Закон розподілу проміжку часу між заявками не показниковий, а будь-який. Час обслуговування має також не показників, а інший розподіл. До того ж канали час від часу можуть виходити з ладу, а час безвідмовної роботи має довільний розподіл. Необхідно знайти імовірності станів системи, а також характеристику ефективності СМО: середню довжину черг, середній час очікування і т.і.

Задача не дуже важка. Однак дослідник, знайомий з теорією масового обслуговування, без коливань обере для розв’язку цієї задачі метод статистичного моделювання, оскільки побудова аналітичної моделі зустрічає тут значні труднощі. Для цього доведеться розіграти множину реалізацій випадкового процесу і з отриманого статистичного матеріалу знайти шукані характеристики.

Таким чином, метод статистичних випробувань (метод Монте-Карло) є метод математичного моделювання випадкових явищ, в якому сама випадковість безпосередньо входить в процес моделювання і являє собою його суттєвий елемент. При цьому створюється моделюючий алгоритм, який імітує поведінку системи з урахуванням випадкових факторів. Кожний раз, коли в досліджуваному процесі необхідно урахувати випадковий фактор, його вплив імітується за допомогою спеціально організованого «розіграшу».

Теоретичною основою метода статистичних досліджень є закон великих чисел. Однією з форм цього закону є теорема Чебишова, яка стверджує, що при необмеженому збільшенні числа незалежних іспитів середнє арифметичне значення випадкової величини, що має скінчену дисперсію, збігається по імовірності до її математичного сподівання при будь-якому :

де x_i — належні випадкові величини з математичним сподіванням m_x і скінченою дисперсією.

Іншою формою цього закону є теорема Бернуллі, яка стверджує, що при необмеженому збільшенні числа незалежних іспитів в сталих умовах частота події А збігається до імовірності цієї події:

_{для будь-якого ,}

де m — кількість вдалих іспитів, при яких мала місце подія А;

n — загальна кількість іспитів;

P(А) — імовірність події А.

Таким чином, метод статистичних випробувань оснований на самих загальних теоремах теорії ймовірностей і не містить в своїй принципіальній суті ніяких обмежень.

Стосовно дослідження поведінки керованих систем з використанням ЕОМ метод статистичного моделювання звичайно полягає в наступному:

а) складається і реалізується на ЕОМ детермінована математична модель системи, яка відображає зв’язок значень вихідних координат системи з зазначенням вхідних впливів і початкових умов;

б) забезпечується отримання на ЕОМ окремих реалізацій випадкових подій, величин, функцій, тобто моделюється випадкове явище з деякими заданими характеристиками, що відповідають характеристикам випадкових явищ, що супроводжують функціонування реальної системи, що досліджується (змінам параметрів зовнішніх впливів, початкових умов);

в) проводиться багатогранне розв’язання детермінованої задачі, де в кожному з розв’язків умови визначаються цими реалізаціями випадкових явищ;

г) проводиться статистична обробка одержаних результатів згідно з характером поставленої задачі.

Критеріями доцільності моделювання з застосуванням еом є:

— недопустимість або відсутність аналітичних або інших методів розв’язання задачі;

— повна впевненість в успішному створенні необхідної моделі;

— наявність достатнього часу для проведення великого об’єму обчислюваних робіт на ЕОМ;

— можливість використання розроблених моделей для розв’язання широкого кола задач.