6.7. Приклади розв’язання задач теорії ігор

Задача 1

Провести аналіз платіжної матриці, визначити нижню і верхню ціну гри та наявність домінуючих і дублюючих стратегій. Дати рекомендації щодо вибору стратегій.

A/B	B1	B2	B3	B4
A1	6	8	9	7
A2	4	6	8	6
A3	6	7	6	8
A4	8	7	6	9

Задача 2

Магазин завозить товари 2-х типів в різних пропорціях. Їх реалізація і прибуток магазину залежить від типу товару і від попиту, що визначається платіжною матрицею

Тип товару	Попит
	В1	В2
А1	15	10
А2	18	14

Визначити оптимальну стратегію гри та ціну гри.

Задача 3

Організація по прокату автомобілів в місті N видає автомобілі напрокат в 2-х пунктах А та В. Клієнти можуть повертати автомобілі в кожний з цих пунктів. Аналіз процесу повернення автомобілів із прокату протягом року показав, що клієнти повертають автомобілі у відповідності з ймовірностями:

Пункти видачі	Пункти прийому
	А	В
А	0,8	0,2
В	0,3	0,7

Визначити оптимальну стратегію гри та ціну гри.

Задача 4

Скласти оптимальний план сівби 2-х культур при умовах:

• Для засушливих умов сівби прибуток в розмірі не менше 35 тис.у.о. приносить культура №1;

• Для дощових умов сівби краще посіяти культуру №2, яка забезпечує прибуток в розмірі не менше 25 тис. у.о.;

• У випадку засушливих умов культура №2, як і культура №1 у випадку дощових умов дають прибуток не більший 5 тис.у.о.

Дати графічну ілюстрацію розв’язку.

Задача 5

У розпорядженні обороняючих є три типа протитанкових засобів: . У наступаючого противника є три типа танків: Задача обороняючих — знищити танк, задача наступаючих — зберегти його непошкодженим. Відома платіжна матриця — значення імовірності знищення танка при парі стратегій

В А		В
А		0. 4	0. 5	0. 8
		0. 5	0. 7	0. 6
		0. 8	0. 4	0. 3

Задача 6

На переговори щодо скорочення продукції,яка випускається, кожна зі сторін (далі умовно іменуються А і В) прибуває зі своїми пакетами пропозицій для конкурента. У кожної зі сторін 2 альтернативи — наполягати на прийнятті своїх пропозицій або прийняти пропозиції конкурента. Оцінимо вигідність всіх можливих ситуацій з порядкової шкалою, вважаючи, що якщо сторони не дійдуть згоди, то зберігається status quo і корисність переговорів дорівнює 0. Якщо приймається пропозиція стороні А на шкоду стороні В, то виграш сторони А більш, ніж в три рази перевищує виграш стороні В. Аналогічно оцінюються виграші, якщо приймається пропозиція стороні В на шкоду стороні А. Для повноти аналізу будемо вважати, що ситуація, коли обидві сторони погоджуються на план конкурента, так само має нульову цінність для обох сторін (як неймовірний випадок). Отже, сторони мають наступні стратегій:

А = { — означає «наполягати на своєму плані», — означає «погодитися на пропозицію стороні В»}

В = { — означає «наполягати на своєму плані», — означає «погодитися на пропозицію стороні А»}.

В результаті матриця гри прийме наступний вигляд:

Спочатку знайдемо максиминні стратегії для кожного з гравців. Обидві стратегії першого гравця є максиминні, так як вони забезпечують однаковий найбільший гарантований результат (рівний нулю). Аналогічно обидві стратегії другого гравця є мінімальні з тим же гарантованим результатом.

Оскільки тільки рівноважні ситуації можуть бути предметом результативних переговорів, попередньо слід провести аналіз гри з метою встановлення такїх ситуацій. Для встановлення ситуацій рівноваги по Нешу скористаємося графічною інтерпретацією. Стрілками будемо позначати умовно-оптимальний вибір для кожної із сторін: стрілка направляється на більш зручну альтернативу при фіксованій стратегії конкурента.

Умовно-оптимальні вибори сторін А і В збігаються на ситуації (1,2) і (2,1), так як відповідні стрілки (вертикальні для А і горизонтальні для В) сходяться до цих елементів матриці. Це означає, що для даної гри є дві ситуації рівноваги по Нешу, виграші в яких перевершують максимина рівень. Однак цих ситуацій дві, і вони принципово відрізняються по перевагу дя кожної із сторін: ситуація (1,2) більш краща стороні А, а ситуація (2,1) — стороні В. Тому гра не має рішення в чистих стратегіях.

Задача 7

Сторони А і В вирішують домовитися про масштаби скорочення обсягу продукції, що випускається. У кожної сторони дві стратегії:

1. Підтримувати випуск на колишньому рівні;

2. Провести істотні скорочення випуску продукції.

Вимірювання перевагу ситуації дасть той чи інший результат в залежності від того, відсутні або є в кожної зі сторін дієві методи контролю виконання домовленості.

Спочатку хай дієвих заходів контролю немає. Це означає, що якщо сторони вирішать провести істотне скорочення випуску продукції, а за тим якась із них таємно порушить угоду, то це різко позначиться на перевагу становища для іншої сторони. В результаті матриця гри може мати, наприклад, наступний вигляд:

b₁ b₂

а₁ (3,3) (10,0)

а₂ (0,10) (9,9)

Максимінні стратегії гравців призводять до ситуації (1,1), що забезпечує їм однакові максиминні результати, рівні 3. У той же час гра має одну рівноважну ситуацію (1,1), збігається з максимина і дає кожному з гравців виграш, рівний максиміну. Крім того рівноважна ситуація доминируется немаксімінной і нерівноважної ситуацією (2,2). Таким чином, згідно сформульованим критеріям раціональності гра має рішення в чистих стратегіях. Змістовно це означає, що при відсутності дієвих заходів контролю над угодою і санкцій за допущені порушення жодної зі сторін не вигідно йти на скорочення випуску продукції.

Нехай тепер у кожної зі сторін є дієві заходи контролю за дотриманням угоди і розроблена система штрафних санкцій за порушення домовленості. В цьому випадку матриця гри може мати, наприклад, наступний вигляд:

b₁ b₂

а₁ (3,3) (7,0)

а₂ (0,7) (8,8)

Максимінні стратегії сторін залишаються незмінними (не йти на скорочення випуску продукції). Рівноважних по Нешу ситуацій для даної гри дві: (1,1) і (2,2). Ситуація (2,2) домінує над ситуацією (1,1). Виграш в ситуації (2,2) для кожної із сторін вище максимина, отже, рішенням гри є недоменіруемая ситуація (2,2), що має виграш більше максиміна. Змістовно це означає, що при наявності дієвих заходів контролю за дотриманням угоди та ефективної системи штрафних санкцій за порушення домовленості сторонам вгіднио йти на кардинальні скорочення випуску продукції.

Задача 8

Магазин завозить товари 2-х типів в різних пропорціях. Їх реалізація і прибуток магазину залежить від типу товару і від попиту, що визначається платіжною матрицею

Тип товару	Попит
	В1	В2
А1	15	10
А2	18	14

Визначити оптимальну стратегію гри та ціну гри.

Задача 9

Розглянемо ситуацію, в якій дві фірми, основна продукція яких конкурує на ринку, продають свої товари за однаковими цінами. Кожна фірма має намір знизити ціни з метою захоплення більшої частки ринку і збільшення свого прибутку. Ситуація описується в таблиці.

Вибір стратегії в конкурентній боротьбі

			Фирма В
			1	2
			Збереження незмінних цін	зниження цін
Фирма А	1	Збереження незмінних цін	3,3 Положення не змінюється	1,4 Частка ринку і прибуток фірми В зростуть
	2	зниження цін	4,1 Частка ринку і прибуток фірми А зростуть	2,2 Обидві фірми зберігають колишні частки ринку, але втрачають частину прибутку

Можна припустити, що в результаті оцінки ситуації обома гравцями кожен вибере стратегію 1, що забезпечує кожному з них виграш, рівний 3. Однак, продовжуючи розмірковувати, А може прийти до наступного висновку: «Якщо В вибере стратегію 1, то мені слід вибрати стратегію 2, бо мій виграш зросте при цьому до 4». Але аналогічно може міркувати і В, який також здатний прийти до вибору стратегії 2. Якщо обидва гравці виберуть цю стратегію, то кожен отримає виграш, рівний тільки 2. Пара (2,2) являє собою точку рівноваги, тому що у випадку відхилення будь-якого з гравців від цієї точки він виявиться в гіршому положенні, ніж раніше, якщо другий буде залишатися в цій точці.

Якщо спиратися на теорію ігор, то здається, що гравці повинні були б вибрати (2,2), оскільки це точка рівноваги, однак інтуїтивно такий вибір представляється незадовільним. З іншого боку, вибір (4,1) інтуїтивно найбільш привабливий, але немає впевненості, що він надійний. Звідси і виникає проблема. В експериментальних і реальних ігрових ситуаціях більшість гравців вибирає ситуації, представлені точкою рівноваги.

Питання для самоперевірки:

1. Охарактеризувати область застосування теорії ігор.

2. Дати означення основних понять теорії ігор (гравець, виграш, гра, парна, множинна, хід особистий, випадковий, стратегія гравця, розв’язок гри, оптимальна стратегія).

3. Навести класифікацію ігор.

4. Що таке матрична гра двох гравців з нульовою сумою?

5. Як побудувати платіжну матрицю гри?

6. Що характеризує максимін і мінімакс?

7. Сформулювати принцип мінімаксу.

8. Що таке сідлова точка в чистих стратегіях і як вона визначається?

9. Що називається змішаною стратегією гравця?

10. Вказати на властивість оптимальної змішаної стратегії.

11. сформулювати основну теорему теорії ігор(теорему Неймана).

12. Вивести формули, за якими знаходять розв’язок матричної гри 2 ×2.

13. Навести схему рішення гри m× n.

14. За яких умов можна спростити гру?

15. Загальна схема розв’язання гри.

16. Методи розв’язання гри 2×2

17. Методи розв’язання гри2×n.

18. Наближені методи розв’язання матричних ігор.