1.2. Основні поняття та принципи дослідження операцій

У цьому параграфі ми познайомимося з термінологією, основними поняттями та принципами науки «дослідження операцій».

Операцією називається будь-який захід (система дій), об’єднаний єдиним задумом і спрямований на досягнення якоїсь мети (всі заходи, розглянуті в пунктах 1–8 попереднього пункту, є «операціями»).

Операція є завжди керованим заходом, тобто від нас залежить, яким способом вибрати деякі параметри, що характеризують її організацію. «Організація» тут розуміється в широкому сенсі слова, включаючи набір технічних засобів, що застосовуються в операції.

Всякий визначений вибір залежних від нас параметрів, що характеризують спосіб організації операції, називають рішенням.

Рішення можуть бути вдалими і невдалими, розумними і нерозумними. Оптимальними називаються рішення, за тими або іншими ознаками переважні перед іншими. Мета дослідження операцій — попереднє кількісне обґрунтування оптимальних рішень. Нагадаємо, що предмет дослідження операцій — це системи організаційного типу, і у зв’язку з цим дамо ще одне означення оптимального рішення — це рішення, найбільш вигідне для всієї системи. А рішення, найбільш вигідне тільки для одного або декількох підрозділів, називають субоптимальним.

Іноді (відносно рідко) в результаті дослідження вдається вказати одне-єдине строго оптимальне рішення, значно частіше — виділити область практично рівноцінних оптимальних (розумних) рішень, в межах якої може бути зроблено остаточний вибір.

Зауважимо, що саме прийняття рішення виходить за рамки дослідження операцій і належить до компетенції відповідального особи, частіше — групи осіб, яким надано право остаточного вибору і на яких покладено відповідальність за цей вибір. Роблячи вибір, вони можуть враховувати, поряд з рекомендаціями, що випливають з математичного розрахунку, ще ряд міркувань (кількісного і якісного характеру), які цим розрахунком не були враховані.

Неодмінна присутність людини (як кінцевої інстанції, що приймає рішення) не скасовується навіть при наявності повністю автоматизованої системи управління, яка, здавалося б, приймає рішення без участі людини. Не можна забувати про те, що саме створення керуючого алгоритму, вибір одного з можливих його варіантів, є також рішення, і дуже відповідальне. У міру розвитку керуючих автоматів функції людини не скасовуються, а просто переміщюються з одного, елементарного, рівня на інший, вищий. Крім того, ряд автоматизованих систем управління передбачає в ході керованого процесу активне втручання людини.

Ті параметри, сукупність яких утворює рішення, називаються елементами рішення. Як елементи рішення можуть фігурувати різні числа, вектори, функції, фізичні знаки і т.д. Наприклад, якщо складається план перевезення однорідних вантажів з пунктів відправлення А₁, А₂, ..., А_m в пункти призначення B₁, В₂, ..., В_n, то елементами рішення будуть числа х_ij, що показують, яку кількість вантажу буде відправлено з i-го пункту відправлення Аi в j-й пункт призначення Вj. Сукупність чисел x₁₁, x₁₂,…, x_1n,…, x_m1, x_m2,…x_mn утворює рішення.

В задачах дослідження операцій йдеться про керований захід — операцію, що переслідує певну мету. Задано певні умови проведення операції, які ми не можемо змінювати і в рамках яких потрібно прийняти рішення — таке, щоб захід приніс вигоду. Операція, мета, умови, рішення — це структурні елементи задач дослідження операцій. Наведемо кілька прикладів.

Приклад 1. Проводяться заходи по підвищенню безпеки руху на перехресті з високою інтенсивністю конфліктуючих транспортних і пішохідних потоків шляхом впровадження світлофорного регулювання. Потрібно раціонально організувати роботу світлофорного об’єкта для того щоб знизити рівень аварійності на перехресті.

Визначимо структурні елементи задачі.

Операція — введення світлофорного регулювання;

мета — зменшити кількість ДТП (знизити імовірність скоєння ДТП);

умови — висока інтенсивність транспортних і пішохідних потоків;

рішення — структура і режими роботи світлофорів, тобто визначення кількості фаз, тривалості основних і допоміжних тактів світлофорного циклу, обґрунтування необхідності виділення пішохідної фази.

Приклад 2. Впроваджують систему інформаційного забезпечення водіїв про напрямки руху на ділянці вулично-дорожньої мережі міста.

Потрібно розробити:

— перелік інформаційних об’єктів;

— дислокацію джерел інформації;

— дорожні знаки індивідуального проектування;

— схему інформаційного забезпечення з тим, щоб підвищити ефективність роботи транзитного транспорту.

Визначимо структурні елементи задачі.

Операція — вказівка напрямків руху на ділянці вулично-дорожньої мережі міста;

мета — знизити рівень транспортних затримок і перепробігів транзитного транспорту;

умови — вулично-дорожня мережа міста;

рішення — варіанти схем інформаційного забезпечення з установкою дорожніх знаків індивідуального проектування, розроблених на основі аналізу переліку інформаційних об’єктів і дислокації джерел інформації.

У найпростіших завданнях дослідження операцій кількість елементів рішення може бути порівняно невелика. Але в більшості завдань, що мають практичне значення, число елементів рішення дуже велике, в чому читач може переконатися, спробувавши самостійно виділити і «назвати по імені» елементи рішення в прикладах 1–8 попереднього параграфа. Для спрощення ми будемо всю сукупність елементів рішення позначати однією літерою х і говорити «рішення х».

Крім елементів рішення, якими ми, в якихось межах, можемо розпоряджатися, в будь-якій задачі дослідження операцій є ще й задані, «дисципліновані» умови, які фіксовані з самого початку і порушені бути не можуть (наприклад, вантажопідйомність машини; розмір планового завдання; вагові характеристики обладнання і т.п.). Зазвичай, до таких умов відносяться засоби (матеріальні, технічні, людські), якими ми маємо право розпоряджатися, і інші обмеження, що накладаються на рішення. У своїй сукупності вони формують так звану «безліч можливих рішень».

Позначимо цю безліч знову-таки однією літерою X, а той факт, що рішення х належить цій множині, будемо записувати у вигляді формули: x Х.

Мова йде про те, щоб в безлічі можливих рішень X виділити ті рішення х (іноді — одне, а частіше — цілу область рішень), які з тієї або іншої точки зору ефективніше (вдаліше, вигідніше) інших. Щоб порівнювати між собою по ефективності різні рішення, потрібно мати якийсь кількісний критерій, так званий показник ефективності.

Показник ефективності операції — це численний критерій оцінки, за допомогою якого судять про ефективність операції (інший термін — цільова функція). Під ефективністю операції розуміють міру її пристосованості до виконання поставленої задачі.

Конкретний вид показника операції W залежить від специфіки задачі та її цільової направленості. Умовно можна поділити види показників операції на усереднені та імовірнісні.

Багато операцій проводять в умовах, що містять елемент випадковості. Наслідок операції не може бути точно передбачено. Як показник операції беруть не просто характеристику наслідку операції, а її середнє значення(математичне очікування).

Якщо метою операції є здійснення цілком визначеної події, то як показник операції беруть імовірність події.

Для прикладу визначимо показники ефективності операції «удосконалення схеми організації дорожнього руху з метою підвищення безпеки руху»: усереднений — середній рівень аварійності на перехресті(середня кількість скоєних дорожньо-транспортних пригод(ДТП) за установлений період; імовірнісний — імовірність скоєння ДТП після впроваджених заходів.

«Кращим» вважатиметься те рішення, яке в максимальному ступені сприяє досягненню поставленої мети. Щоб вибрати, «назвати по імені» показник ефективності W, потрібно перш за все запитати себе: чого ми хочемо, до чого прагнемо, роблячи операцію? Вибираючи рішення, ми, зрозуміло, віддамо перевагу такому, яке приводить показник ефективності W до максимуму (або ж у мінімум). Наприклад, дохід від операції хотілося б привести до максимуму, коли ж показником ефективності є витрати, їх бажано привести до мінімуму. Якщо показник ефективності бажано максимізувати, ми це будемо записувати у вигляді W → max, а якщо мінімізувати — W → min.

Дуже часто виконання операції супроводжується дією випадкових факторів (примхи погоди, коливання попиту і пропозиції, відмови технічних пристроїв і т.д.). У таких випадках зазвичай за показник ефективності береться не сама величина, яку хотілося б максимізувати (мінімізувати), а її середнє значення (математичне очікування).

У деяких випадках буває, що операція, супроводжувана випадковими факторами, переслідує якусь цілком певну мету А, яка може бути тільки досягнута повністю або зовсім не досягнута (схема «так — ні»), і ніякі проміжні результати нас не цікавлять. Тоді за показник ефективності вибирається ймовірність досягнення цієї мети Р (А). Наприклад, якщо ведеться стрілянина по якомусь об’єкту з неодмінною умовою знищити його, то показником ефективності буде ймовірність знищення об’єкту.

Неправильний вибір показника ефективності дуже небезпечний. Операції, організовані під кутом зору невдало обраного критерію, можуть призвести до невиправданих витрат і втрат (згадаймо хоча б горезвісний «вал» в якості основного критерію оцінки господарської діяльності підприємств).

Для ілюстрації принципів вибору показника ефективності повернемося знову до прикладів 1–8 § 1. 1, виберемо для кожного з них природний показник ефективності і вкажемо, потрібно його максимізувати або мінімізувати. Розбираючи приклади, потрібно мати на увазі, що не у всіх з них вибір показника ефективності однозначно диктується словесним описом завдання так, що але цього питання можливі розбіжності між читачем і автором.

1. План постачання підприємств. Завдання операції — забезпечити постачання сировиною при мінімальних витратах на перевезення. Показник ефективності R — сумарні витрати на перевезення сировини за одиницю часу, наприклад, місяць (R → min).

2. Будівництво ділянки магістралі. Потрібно так спланувати будівництво, щоб закінчити його як можна швидше. Природним показником ефективності був би час завершення будівництва, якщо б воно не було пов’язано з випадковими факторами (відмови техніки, затримки у виконанні окремих робіт). Тому в якості показника ефективності можна вибрати середній очікуваній час закінчення будівництва ( → min).

3. Продаж сезонних товарів. Як показник ефективності можна взяти середній очікуваний прибуток П від реалізації товарів за сезон (П → max).

4. Снігозахист доріг. Мова йде про найбільш вигідному економічно плані снігозахисту, тому в якості показника ефективності можна вибрати середні за одиницю часу (наприклад, за рік) витрати R на утримання і експлуатацію доріг, включаючи витрати, пов’язані як зі спорудженням захисних пристроїв, так і з розчищенням доріг і затримками транспорту (R → min).

5. Протичовновий рейд. Так як рейд має цілком певну мету А — знищення човна, то в якості показника ефективності слід вибрати ймовірність P(A) того, що човен буде знищено.

6. Вибірковий контроль продукції. Природний показник ефективності, підказаний формулюванням завдання, це середні очікувані витрати R на контроль за одиницю часу, за умови, що система контролю забезпечує заданий рівень якості, наприклад, середній відсоток браку не вище заданого (R → min).

7. Медичне обстеження. Як показник ефективності можна вибрати середній відсоток (частку) Q хворих і носіїв інфекції, яких вдалося виявити (Q → max).

8. Бібліотечне обслуговування. У формулюванні завдання свідомо допущена певна нечіткість: неясно, що означає «найкраще обслуговування абонентів» або «задоволення їхніх запитів в максимальній мірі». Якщо про якість обслуговування судити по часу, який абонент, що запитав книгу, чекає її отримання, то в якості показника ефективності можна взяти середній час Т очікування книги читачем, що подав на неї заявку (Т → min). Можна підійти до питання і з дещо інших позицій, вибравши як показника ефективності середнє число М книг, виданих за одиницю часу (M → max).

Розглянуті приклади спеціально підібрані настільки простими, щоб вибір показника ефективності був порівняно неважкий і прямо диктувався словесним формулюванням завдання, його (майже завжди) однозначною цільовою спрямованістю. Однак на практиці це далеко не завжди буває так. У цьому читач може переконатися, спробувавши, наприклад, вибрати показник ефективності роботи міського транспорту. Що взяти в якості такого показника? Середню швидкість пересування пасажирів по місту? Або середня кількість перевезених пасажирів? Або середня кількість кілометрів, яку доведеться пройти пішки людині, яку транспорт не може доставити до потрібного місця? Тут є над чим помізкувати!

На жаль, у більшості завдань, що мають практичні значення, вибір показника ефективності не простий і вирішується неоднозначно. Для більш-менш складної задачі типове становище, коли ефективність операції не може бути вичерпним чином охарактеризована одним — єдиним числом — на допомогу йому доводиться залучати інші. З такими «багатокритеріальним» завданнями ми познайомимося в §6.