6.4.3. Методи розв’язання ігор 2хn

ГЕОМЕТРИЧНА ІНТЕРПРЕТАЦІЯ РОЗВ’ЯЗКУ ГРИ 2хn

Аналогічно може бути розв’язана будь-яка гра 2 х n. Нехай ми маємо дві стратегії А1 і А2, а противник n-стратегій В1, В2, …… Вn.

Платіжна матриця аij задана. Вона складається з двох рядків і n стовпців. Аналогічно випадку з двома стратегіями дамо задачі геометричне тлумачення n-стратегій противника зобразимо прямими (рис. 6.5)

М

А А1

В2 В1

В4

В₃ В3

N

М

В4 В2

В1 V

0 P 1 Р

Рис. 6.5

Будуємо нижню межу виграшу (ламану В1МN В2) і знаходимо на ній точку N з максимальною ординатою. Ця точка дає розв’язок гри — стратегію

Ордината точки n дорівнює ціні гри ν, а абсциса дорівнює частоті застосування стратегії а1.

В даному випадку оптимальна стратегія противника — суміш двох корисних стратегій: В4 і В2, які перетинаються в точці N. Застосування двох стратегій, відмінних від В2 та В4, є для противника невигідним.

Таким чином, будь яка гра 2хn зводиться до гри 2х2. Геометричне тлумачення гри 2хn робить можливість виділити з n стратегій дві корисні.

Аналітичний метод розв’язання гри 2хn

Аналітичний метод заснований на тому положенні, що гравець В має не більше двох корисних стратегій. Розглянемо гру, платіжна матриця якої показана в табл. 6.12.

Таблиця 6.12

В А	В1	…..	Вj	…..	Вn
А1	а11	…..	а1j	…..	а1n
А2	а21	…..	а2j	…..	а2 n

Для розв’язку гри можна вибрати будь-які дві стратегії з В1, В2, …., ВП. Оберемо Вi і Вj (і ≠ j) і складемо матрицю гри 2х2, де гравець А має стратегії А1 і А2, а гравець В — стратегії Вi і Вj.

Таблиця 6.13

В А	В1	В2
А1	а11	a12
А2	а21	a22

Користуючись аналітичним методом розв’язку гри 2х2, знаходимо р1, р2, ν, q1 і q2.

Нехай тепер гравець В обере будь-яку стратегію Вк (к=1,2,…, n), крім Вi, Вj, а гравець А дотримується змішаної стратегії S_A:

Підраховує величину середнього очікування виграшу при виборі цих стратегій:

Тут можливі два приклади:

_{для R=1,2,… n, але R і,j}

Якщо для всіх стратегій k=1,2, …. п буде виконуватись перше співвідношення, то обрана нами гра 2x2 (що відповідає стратегіям А₁, А₂ і В_і, В_j) дає розв’язок гри 2 x n. Якщо хоча б для одного k це співвідношення не виконується, то необхідно перекреслити наш розв’язок і обрати іншу пару стратегій.