6.4.2. Методи розв’язку гри 2 X 2

Розв’яжемо гру 2 x 2. Нехай відома платіжна матриця (Табл. 6.10). Припустимо, що гра не має сідлової точки, отже, нижня ціна гри не дорівнює верхній:

Таблиця 6.10

В А	В1	В2
А1	а11	а12
А2	а21	а22

Тоді розв’язком гри є оптимальна змішана стратегія, яка складається з чистих стратегій А₁ i А₂, використаних з частотами р₁ і р₂ відповідно:

_.

Оптимальна змішана стратегія має ту властивість, що яким б не були дії противника (якщо тільки він не виходить за границі своїх «корисних» стратегій), виграш буде дорівнювати ціні гри.

Якщо гравець В користується чистою стратегією В_1, ціна гри визначається за формулою:

_,

а якщо користується стратегією В₂, то виграш буде дорівнювати:

_.

Враховуючи, що р₁ + р₂ = 1, і підставляючи р₂ = 1 – р₁, маємо:

_.

Після неважких перетворень маємо:

_.

Звідси знаходимо частку застосування стратегії р₁:

_.

Ціну гри знайдемо, підставляючи значки р₁ і р₂ в будь-яке з попередніх рівнянь.

Якщо ціна гри відома, то для визначення оптимальної стратегії противника

_,

Достатньо одного рівняння, наприклад:

_,

Звідки, вираховуючи, що q₁+q₂=1, маємо

_,

_{, або}

ГЕОМЕТРИЧНА ІНТЕРПРЕТАЦІЯ РОЗВ’ЯЗАННЯ ГРИ 2 X 2

Розглянемо гру 2 X 2 з платіжною матрицею (табл. 6.11)

Таблиця 6.11

В А	В1	В2
А1	А11	а12
А2	А21	а22

Припустимо, що гравець А застосував стратегію А₁ з частотою p, а стратегію А₂ з частотою 1 – р, тобто гравець А додержується змішаної стратегії:

Якщо при цьому гравець В обирає свою чисту стратегію (наприклад В₁), то виграш при цьому буде дорівнювати

_{. (6.1)}

Тут М означає математичне сподівання виграшу при змішаній стратегії гравця А і чистій стратегії В₁ гравця В.

В прямокутній площині координат відкладемо пряму, яка відповідає рівнянню (6.1) (рис. 6.1). При р = 0, М = а₂₁, при р = 1, М = а₂₁. Пряма В₁В₁ відповідає рівнянню (2,1), оскільки значення р лежить в межах : р = 0 означає застосування гравцем А числової стратегії А₂, а р = 1 — застосування числової стратегії А₁.

М А₁

А₂

В₁

В₁

а₁₁

а₂₁

0 р 1 р

Рис. 6.1

Отже вісь ординат ОМ зображує стратегію А₂, перпендикуляр до осі ОР а точки р = 1 зображує стратегію А₁. Таким чином, якщо при стратегії противника В₁ застосувати стратегію

_,

то середній виграш, який дорівнює в цьому випадку

зобразиться точкою М на прямій В₁В₁. Абсциса цієї точки дорівнює р. Пряму В₁В₁, що зображує виграш при стратегії В₁, умовно називаємо «СТРАТЕГІЄЮ».

Очевидно, що так само можне бути зображена і стратегія В₂ (рис. 6.2):

М А₁

А₂ В₂

В₁

В₁

а₂₂ а₁₁

а₂₁ а₁₂

0 р 1 р

Рис. 6.2

При р = 0 М = а₂₂, р₂ = 1 М = а₁₂.

Нам необхідно знайти отриману стратегію , тобто таку, для якої мінімальний виграш (при будь-якій поведінці гравця В) був би максимальним. Для цього побудуємо нижню границю виграшу при стратегіях В₁, В₂, тобто ламану В₁ N В₂. Ця нижня границя буде виражати мінімальний виграш гравця А при будь-якій змішаних стратегіях. Точка N, в якій цей мінімальний виграш досягає максимума, визначає розв’язок і ціну гри. Ордината точки N є ціна гри, а її абсциса дорівнює Р-частоті застосування стратегії А₁ в оптимальній змішаній стратегії . В даному випадку розв’язок гри визначався точкою перетину стратегій. Однак це не завжди буде так.

На рис. 6.3 показано випадок, коли не дивлячись на наявність перетину стратегій, розвя’зок дає для обох гравців чисті стратегії (А₁ і В₂), а ціна гри . В цьому випадку матриця має сідлову точку і стратегія А₂ є завідомо невигідною.

А₁ М А1

А ₂ В₁ А₂ В2

В₂ В₂ В1

В₁ В2

а ₂₂ В1

0 1 0 1 Рис. 6.3 Рис. 6.4

У випадку, коли завідомо невигідна стратегія є у противника, геометрична інтерпретація має вигляд, зображений на рис. 6.4. Тут нижня межа виграшу співпадає зі стратегією В1.

Стратегія В2 для противника є завідомо невигідною.