6.3. Аналіз матричних ігр

Нижня і верхня ціни гри. Принцип мінімаксу

Розглянемо скінчену гру гравців А і В. Гравець А має m стратегій, гравець В-n стратегій. Стратегії першого гравця: А₁, А₂, ..., А_m, стратегії другого гравця: В₁, В₂, ..., В_n. Нехай відомі виграші для кожної пари стратегій. Складемо матрицю гри або платіжну матрицю (табл. 6.2). Поставимо собі задачу: визначити свою оптимальну стратегію.

Обираючи стратегію А_і, ми завжди повинні розраховувати на те, що противник відповість на її тією з стратегій В_j, для якої ваш виграш мінімальний.

Таблиця 6.2

Гравець А	Гравець В
	В1	….	Вj	….	Bn
А1	а11	….	a1j	….	a1n
….	….	….	….	….	….
Аі	аі1	….	aij	….	ain
….	….	….	….	….	….
Аm	аmі	….	amj	….	amn

Визначимо це значення виграшу, тобто мінімальне з чисел в і-тому рядку. Позначивши його через , отримаємо:

Випишемо числа поруч з матрицею праворуч у вигляді додаткового стовпця (табл. 6.3)

Таблиця 6.3

B A	B1	B2	…..	Bn	i
A1	A11	a12	…..	a1n	1
A2	A21	a22	…..	a2n	2
…..	…..	…..	…..	…..	…..
Am	am1	am2	…..	amn	m
	1	2	…..	n

Очевидно, першому гравцю найкраще вибрати таку стратегію, яка дає найбільшу величину . Позначимо

Отримана величина називається нижньою ціною гри або максиміном. Стратегія, що відповідає цій величині, називається максимінною стратегією.

Нижня ціна гри означає той максимальний виграш, який ми можемо гарантувати в грі проти розумного противника, обираючи одну з своїх стратегій.

Очевидно, аналогічне міркування можна провести і за противника (гравця В). Він зацікавлений в тому, щоб обернути виграш в мінімум. Якщо гравець В обере якусь j-ту стратегію, то гравець А відповість такою і-ю стратегією, яка зробить виграш максимальним. Позначимо виграш ₀ — це максимальне значення, яке відповідає j-тій стратегії. Знизу матриці визначимо максимальні значення а_іj по кожному стовпцю:

Ясно, що сторона В обере таку стратегію, яка веде цей програш до мінімуму. Позначимо:

Величина називається верхньою ціною гри або мінімаксом, а відповідна їй стратегія — мінімаксною.

Верхня ціна гри — це мінімальний програш, на який може розраховувати «противник», який вибравши одну а своїх стратегій, розраховуючи на найгіршу для себе нашу поведінку.

Додержуючись своєї найбільш обережної мінімаксної стратегії, противник гарантує собі слідуюче: щоб ми не здійснили проти нього, він у всякому разі програє суму, яка не перебільшує .

Принцип, який потребує від обох гравців вибору відповідно максимінної і мінімаксної стратегій, називається принципом мінімакса.

Якщо = , то гра має так звану сідлову точку. Сідловій точці відповідає пара стратегій, які називаються оптимальним, а їх сукупність — розв’язком гри.

Чиста ціна гри: = = .

Приклад: Організується захист малорозмірного об’єкту: можливі 4 варіанти оборони А₁, А₂, А₃, А₄. Супротивник може застосовувати 4 варіанти нападу В₁, В₂, В₃,В₄. Відома платіжна матриця, в якій вказується відсоток знешкодженних засобів супротивника із загального числа при будь-якій стратегії. Необхідно вибрати такий варіант оборони, щоб забезпечити максимальне число знешкоджених засобів супротивника. Платіжна матриця задана табл. 6.4.

Таблиця 6.4

Варіанти захисту	Варіанти нападу				i
	В1	В2	В3	В4
А1	50	60	90	40	40
А2	90	50	40	80	40
А3	80	70	90	90	70*
А4	80	30	50	70	30
j	90	70*	90	90	=

Тут . Оптимальними («чистими») стратегіями є стратегії А₃ і В_2.

Розв’язок гри має наступну чудову властивість: у грі з сідловкою точкою відхилення від оптимальної стратегії не вигідне ні одному а гравців. Тому така гра стійка.

Якщо який-небудь гравець буде намагатися відхилися від своєї оптимальної лінії поведінки, то він цього лише програє. Якщо сідлова точка у грі відсутня,то розв’язок гри лежить в області замішаних стратегій.

Основна теорема теорії гри була доведена в 1928 р. Фон Нейманом. Вона стверджує, що кожна кінцева гра має, у крайньому разі, один вариант розв’язку (хоча б у класі змішаних стратегій).

Причому ціна гри завжди лежить між нижньою і верхньою ціною гри: .

Розглянемо гру 2 2,в якій відома платіжна матриця (табл. 6.5):

Таблиця 6.5

В А	q	1-q	i
Р	3	6	3
1-р	5	4	4*
i	5*	6	≠

Аналізуючи матрицю, знаходимо нижню і верхню ціну гри:

=4, =5.

Тут ≠ , отже сідлової точки немає. Отже, шукаємо розв’язок в області змішаних стратегій. Гравець А повинен прийняти свою змішану стратегію S_A,гравець В-стратегію S_B:

_{, .}

Знайдемо середній виграш:

_{M[а]=3pq + 6p(1 – q) + 5(1 – p)q + 4(1 – p) (1 – q).}

Розв’язати гру з позиції гравця А — це означає знайти таке значення імовірності Р, яке забезпечить максимальне значення М[а] при будь-яких значеннях q, тобто при будь-яких діях гравця В, який намагається зменшити це значення. Формально це можна записати та

_{{max min М [а]} max}

_{p q}

Після деяких алгебраїчних перетворень у виразі для М[а], отримаємо:

_{M[а]= −4(p – 1/4) (q – 1/2) + 4,5.}

Аналізуючи цей вираз, приходимо до висновку, що якщо Р=1/4, то при будь-яких q значення середнього виграшу лишається рівним 4,5. Тому оптимальними стратегіями гравців А і В є стратегії:

_{, S*B = .}

ЗАГАЛЬНЕ ОЗНАЧЕННЯ: в грі m x n змішана стратегія гравця А

_,

Є ОПТИМАЛЬНОЮ, якщо вона забезпечує максимальне значення середнього виграшу при будь-яких діях гравця В, який намагається зменшити цей виграш, тобто це та стратегія, яка відповідає:

_{aij pi qj.}

Для гравця В оптимальною стратегією буде та, яка відповідає:

_{aij pi qj.}

В теорії гри доведено, що

Це значення називають ЦІНОЮ ГРИ:

_.

Введемо поняття корисної стратегії. КОРИСНА СТРАТЕГІЯ — це стратегія, імовірність якої в оптимальній змішаній стратегії не дорівнює нулю.