6.2. Прямокутні матричні ігри

Розглянемо скінчену гру двох гравців А і В («ми» і «конкурент»)

Нехай гравець А має «m» стратегій, а гравець В — «n» стратегій. Така гра називається грою m  n.

Будемо позначати наші стратегії ,…, ; стратегії противника . Нехай кожна сторона вибрала певну стратегію. Для нас це для противника .

Якщо гра складається тільки з особистих (персональних) ходів, то вибір стратегії однозначно визначає результат гри — наш виграш. Позначимо його . Якщо гра містить, крім особистих, випадкові ходи, то виграш при парі стратегій є величина випадкова, яка залежить від результатів всіх випадкових ходів.

В цьому випадку природною оцінкою очікуваного виграшу є його середнє значення (математичне сподівання).

Нехай нам відомі значення виграшу (або середнього виграшу при кожній парі стратегій. Значення можна записати в вигляді прямокутної таблиці (матриці), строки які відповідають нашим стратегіям ( ), а стовпці — стратегіям противника ( ). Така таблиця називається платіжною матрицею або просто матрицею гри.

Прикладом платіжної матриці може служити матриця гри m х n, наведена в табл. 6.1.

Як гравці тут розглядаються, наприклад, система захисту нашими військами окремого об’єкту, з одного боку і конкурента, з іншого.

,…, — стратегії, означаючі варіант побудови захисту.

— стратегії, означаючі варіант дії конкурента.

— математичне сподівання виграшу при використанні пари стратегій .

Мета теорії ігор-розробка рекомендацій для розумної поведінки гравців в конфліктній ситуації, тобто визначення «оптимальної стратегії» кожного з гравців.

Відомі застосування теорії ігор у вирішенні таких завдань: визначення оптимальних співвідношень між централізацією і децентралізацією економіки, вибір стратегії в конкурентній боротьбі, вироблення рекомендацій щодо поведінки фірми на ринку, питання реклами, аукціонів.

Розглянемо гру 2-х гравців А і В. Відома платіжна матриця гри (табл. 6.1.)

Таблиця 6.1

Гравець А	Конкурент (гравець В)
		….		….
		….		….
….	….	….	….	….	….
		….		….
….	….	….	….	….	….
		….		….

Оптимальною стратегією гравця називається така стратегія, яка при багаторазовому повторенні гри забезпечує даному гравцю максимально можливий середній виграш (або, що теж саме, мінімально можливий середній програш).

При виборі цієї стратегії основою міркування є припущення, що противник, по меншій мірі, такий же розумний, як і ми самі, і робить все для того, щоб перешкодити нам досягти своєї мети.

Кожна вибрана стратегія першого або другого гравця називається чистою стратегією.

Якщо дотримуватися однієї чистої стратегії, то конкурент розгадає її і буде вибирати найгірші для нас варіант.

Якщо є чергувати з певною частотою стратегії , то отримаємо так звану змішану стратегію :

Тут — імовірність вибору гравцем А своєї стратегії .

Оскільки при кожному ході гравець А повинен обов’язково вибрати якусь стратегію, то

Аналогічно для гравця В визначається змішана стратегія S_В:

_.

Якщо гравцю А задана змішана стратегія, то для вибору при кожному ході чистої стратегії він повинен випадковим способом реалізувати імовірності Р₁, Р₂, Р_m, тобто повинен за допомогою деякого випадкового механізму вибрати число і поставити його в відповідність чисту стратегію.

Для того щоб визначити середній виграш гравця А якщо задані змішані стратегії, необхідно керуватися відомими положеннями теорії ймовірностей: середнє значення випадкової дискретної величини дорівнює сумі добутків її значень на відповіді імовірності:

_.

В даному випадку випадковою величиною є виграш ; він приймає тільки ті значення, які записані в платіжній матриці. Цей виграш отримується при виборі пари стратегій А_і і В_і. Імовірність вибору цієї пари стратегій дорівнює . Отже, імовірність виграшу дорівнює . Звідси середній виграш дорівнює:

_.