VI. Теорія ігор

6.1. Ігрові моделі прийняття рішень

При розв’язанні ряду практичних задач дослідження операцій конфліктного характеру доводиться зустрічатись з необхідністю урахувати протилежні інтереси двох (і більше) конфліктуючих сторін, тобто розглядати конфліктні ситуації.

У багатьох задачах дослідження операцій доводиться оцінювати наслідки прийняття рішення в умовах невизна­ченості. Сутність цієї невизначеності може мати різну при­роду. Надалі розглядатимуться лише випадки, коли неви­значеність зумовлена свідомими діями кількох учасників операції: саме сукупність індивідуальних рішень у всіх учас­ників операції конкретизує комплекс заходів щодо її прове­дення. Вважатимемо, що учасники операції переслідують різні цілі, причому результат будь-якого рішення кожного із них залежить від рішень, прийнятих іншими учасниками.

Приклади операцій, яким притаманні конфліктні ситуації, можна виявити у будь-якій сфері людської діяльності. Зокрема, таких операцій багато на ринку товарів і послуг; конфліктні ситуації є типовими при проведенні військових операцій і спортивних змагань.

Необхідність аналізу подібних ситуацій в багатьох задачах практики зумовила появу спеціального математичного апарата, який отримав назву теорії ігор.

ІСТОРІЯ ВИНИКНЕННЯ

Випадкові ігри досліджувались з математичної точки зору здавна. Математична теорія ймовірностей виросла на основі вивчення таких ігор. Хоча конфліктні ситуації вже давно привертали до себе увагу, перша спроба створити на їх основі математичну теорію ігор була зроблена лише у 1921 році Емілем Борелем. В 1928 році Джон фон Нейман поставив теорію ігор на тверду основу, довівши теорему про мінімакс — основну теорему теорії ігор. Однак математична теорія ігор привернула увагу лише після опублікування в 1944 році книги Неймана і Маргенштерна «Теорія ігор і економічна поведінка». З цього часу теорія застосовується до ігрових задач — економічних, воєнних, політичних

Термінологія і означення

Теорія ігор являє собою математичну теорію конфліктних ситуацій. Мета теорії — виробка рекомендацій по раціональному образу дій кожного з противників в ході конфліктної ситуації.

Грою називається спрощена формалізована модель конфліктної ситуації. Формалізована модель гри означає строгий перелік правил, що визначають, як можуть діяти учасники гри і який їх виграш в залежності від обраних дій.

Гра повинна мати чітко окреслену картину. В кожній грі припускаються відомими можливі дії сторін, наслідки цих дій, мета кожного з учасників гри.

Гра відрізняється від реальної конфліктної ситуації тим, що вона ведеться по цілком визначеним правилам.

Правила гри в теорії ігор називається система умов, яка включає:

1. можливі варіанти дій сторін;

2. об’єм інформації кожної сторони про поведінку іншої;

3. послідовність чергування ходів, тобто окремих рішень, які приймаються в ході гри;

4. результат гри, до якого приводить дана сукупність ходів.

Сторони, які приймають участь в конфліктній ситуації, називаються гравцями, а результат зіткнення їх інтересів — виграшем.

Ходом в теорії ігор називається вибір одного з передбаченим правилами гри варіантів. Ходи поділяються на особисті і випадкові.

Особистим ходом називається свідомий вибір одним з гравців одного з можливих в даній ситуації ходів і його здійснення. Приклад особистого ходу — будь–який з ходів в шахматній грі. Виконуючи черговий хід, гравець робить свідомий вибір одного з варіантів, які можливі при даному розташуванні фігур на дошці.

Випадковим ходом називається вибір із ряду можливостей, здійснюваний не рішенням гравця, а яким-небудь механізмом вибору (кидання монети, звертання до датчика випадкових чисел і т. і). Щоб гра була математично визначеною, правила гри для кожного випадкового ходу повинні вказувати розподіл ймовірностей можливих наслідків.

Одним з основних понять теорії ігор є поняття «стратегії».

Стратегією гравця називається сукупність правил, які однозначно визначають вибір при кожному особистому ході даного гравця в залежності від ситуацій, яка склалася в процесі гри.

Для того, щоб поняття «стратегії» мало сенс, необхідна наявність в грі особистих ходів; в іграх, які складаються лише з випадкових ходів, стратегії відсутні.

Якщо кожна з сторін зробить хід, то в результаті складається ситуація, що приводить до деякого результату. Цей результат називається виграшем.

Класифікація ігор

1. за кількістю гравців;

2. за результатом гри;

3. за кількістю ходів;

4. за кількістю інформації і про характер ситуації, що склалася, і про наміри противника;

5. за кількістю стратегій;

6. за характером взаємовідносин;

7. за видом функцій виграшів.

За кількістю гравців ігри бувають парні, коли в грі приймають участь два гравці, і множинні, якщо в грі беруть участь більше двох осіб.

За своїми результатами (за характером виграшів) ігри поділяються на ігри з нульовою сумою і гри з ненульовою сумою.

Гра називається грою з нульовою сумою, якщо один гравець виграє те, що програє інший, тобто сума виграшу обох сторін дорівнює нулю. В грі з нульовою сумою інтереси гравців прямо протилежні.

Більшість економічних і воєнних ситуацій можна розглядати як ігри з нульовою сумою.

Зокрема, гра двох гравців з нульовою сумою називається антагоністичною, оскільки цілі гравців в ній прямо протилежні: виграш одного гравця відбувається за рахунок іншого.

За кількістю інформації ігри поділяються на

— ігри з повною інформацією,

— ігри з неповною інформацією,

Гра, в якій учасники при кожному ході знають результати всіх попередніх ходів, називається грою з повною інформацією.

Гра, в якій невідомість відносно дій противника є суттєвим елементом конфліктної ситуації, називається грою з неповною інформацією.

Ігри класифікуються за кількістю стратегій.

Виходячи з того, яка кількість стратегій є в розпорядженні кожного гравця, ігри поділяються на

1. ігри з скінченою кількістю стратегій,

2. ігри з нескінченою кількістю стратегій.

За характером взаємовідносин ігри поділяються на без коаліційні, кооперативні, коаліційні.

Безкоаліційною називається гра, в якій гравці не можуть вступати в угоди, утворювати коаліції. Наприклад, без коаліційною буде воєнна ситуація, в якій бій ведеться без компромісів, до перемоги.

Коаліційною називається гра, в якій гравці можуть вступати в угоди, утворювати коаліції. Наприклад, противники можуть вступати в переговори з метою досягнення компромісного розв’язку виниклої ситуації. В кооперативній грі коаліції наперед визначені.

За виглядом функцій виграшів ігри поділяються на матричні, біматричні, неперервні, опуклі, сепарабельні, типу дуелей і т. і.

Матрична гра — це закінчена гра двох гравців з нульовою сумою, в якій задаються виграші першого гравця у вигляді матриці (рядки матриці відповідають номеру застосованої стратегії першого гравця, стовпці — номеру застосування стратегії другого гравця). Програш другого гравця дорівнює виграшу першого.

Біаматрична гра — це закінчена гра двох гравців з ненульовою сумою, в якій виграші кожного гравця задаються матрицями окремо для відповідного гравця.

Неперервною вважається така гра, в якій функція виграшів кожного гравця є неперервною в залежності від стратегій.

Якщо функція виграшів є опуклою, то така гра називається опуклою.

Надалі ми будемо розглядати ігри двох гравців з нульовою сумою.

ОБМЕЖЕННЯ І ДОПУЩЕННЯ, ЩО ЗАСТОСОВУЮТЬСЯ В ТЕОРІЇ ГРИ

Теорія гри, як і будь-яка математична модель, має ряд притаманних їй обмежень і допущень.

До допущень відносяться наступні моменти:

1. кожний гравець знає можливості (виражені у відповідних стратегіях), які є у нього і його противника, і знає, як результат гри залежить від вибору цих можливостей, тобто він знає платіжну матрицю;

2. якщо в грі приймає участь випадковий механізм (тобто мають місце випадкові ходи), то кожному гравцю відомі рівні можливості цих випадкових ходів і відповідні їх імовірності виходів;

3. кожний гравець для будь-якої пари виходів або віддає перевагу одному виходу (коли, наприклад, один виграш більший, ніж інший), або байдужий до них;

4. кожний гравець знає подібну систему призначень свого противника у відношенні результатів гри.

Обмеження, які мають місце в теорії гри:

1. в теорії гри не враховуються елементи ризику, неминуче присутні в кожній реальній стратегії, а також можливі прорахунки і помилки, кожного з гравців (вважається, що обидва гравця грають ідеально);

2. виграш зводиться до одного — єдиного числа.

А в реальній конфліктній ситуації при виробці розумної стратегії приходиться враховувати не один, а кілька чисельних параметрів — критеріїв успіху заходів.

Очевидно, що стратегія, оптимальна по одному критерію, не може бути оптимальною по іншому. Але можна отримати цілком підходящу стратегію, якщо не для всіх, то для більшості критеріїв успішності заходу.