5.7.5. Приклади розв’язку задач тмо

СМО З ВІДМОВАМИ

Задача 1. На автопідприємстві телефонна станція має 4 лінії зв’язку. На станцію поступає найпростіший потік викликів абонентів з щільністю =4 виклика в хвилину. Середній час розмови 0,5 хвилин. Обчислити показники ефективності праці станції.

Приклад СМО з відмовами:

Розв’язок:

_{tобсл=0,5 хв,}

а)

b) Імовірність відмови:

в) Середня кількість зайнятих ліній

г) Середній відносний час зайнятості лінії

д) Абсолютна пропускна здатність дорівнює

Висновки по результатам розрахунків:

1. Імовірність відмови Р_відм=Р₄=0,1 невелика

2. Відносна пропускна здатність q = 1 – Р_відм = 0,9 достатньо висока. Станція буде обслуговувати в середньому 90% викликів, що надходять.

3. В установленому режимі праці у середньому будуть зайняті дві лінії зв’язку.

4. Завантаження станції складе 50%.

СМО З ОЧІКУВАННЯМ.

Задача 2. Ремонтний підрозділ має три однакові бригади, кожна з яких ремонтує один пошкоджений автомобіль. На ремонт у середньому доставляються 5 автомобілів у день. Один автомобіль бригада ремонтує у середньому за половину робочого дня. Визначити основні характеристики робочого підрозділу.

Розв’язок:

Автомобіль, що надійшов на ремонт у момент зайнятості усіх бригад, залишиться у системі до початку його ремонту. Тому тут — СМО з очікуванням. Роботу ремонтників охарактеризуємо наступним показниками:

Середня кількість зайнятих бригад — m_з

Середній час очікування початку ремонту — t_оч

Середня довжина черги — R

У даному прикладі

Оскільки =5/6 < 1, то умова існування встановленого режиму виконано. Якщо , то черга буде необмежено зростати.

Формули, що використовуються:

_при

,якщо число S>1 (наявність черги), S — число автомобілей в черзі.

У даній системі відмов в обслуговуванні немає: .

Отже, ;

а) середня кількість автомобілів у черзі знайдена по формі:

б) середній час очікування

в) середня кількість зайнятих бригад

Обчисленні значення

середня довжина черги

середнє число зайнятих бригад

середня відносна зайнятість бригад

, тобто 50% часу бригади зайняті.

СМО ЗМІШАНОГО ТИПУ

(СМО має n каналів обслуговування і m місць для черги).

Задача 3. Автозаправочна станція (АЗС) має 2 заправочні колонки. Потік машин, прибуваючих на АЗС, найпростіший з щільністю 2 машини в хвилину. Середній час заправки однієї машини 2 хвилини. Майданчик у АЗС може вмістити не більше 3 очікуючих машин. Знайти характеристики роботи АЗС:

1. імовірність відмови;

2. відносну і абсолютну пропускні можливості;

3. середня кількість зайнятих колонок;

4. середня кількість машин у черзі;

5. середній час очікування і прибуття машин на АЗС.

Розв’язок:

В даному прикладі

Обчислення:

1. Імовірність відмови

2. Відносна пропускна можливість

3. Абсолютна пропускна можливість

_{(машини в хвилину)}

4. Середня кількість зайнятих колонок

5. Середня відносна зайнятість колонок

6. Середня кількість машин у черзі

7. Середній час очікування в черзі

_хв..

8. Середній час перебування машин на АЗС

_хв.

Висновки:

1. Приблизно 50% машин будуть обслуговуватись і стільки ж машин отримають відмову (q = 0,488, Р_відм = 0,512).

2. Обидві колонки майже весь час зайняті, АЗС працює з напругою (t_0з = 0,976).

3. Час очікування у черзі ≈ 1 хвилина.

4. В середньому на заправку і очікування іде ≈2 хвилини.

Питання для самоперевірки:

1. Охарактеризувати область застосування теорії масового обслуговування та навести приклади процесів масового обслуговування.

2. Описати структуру системи масового обслуговування (СМО).

3. Що таке дисципліна обслуговування та дисципліна черги?

4. Прокоментувати випадковий характер надходження вимог на обслуговування.

5. Що таке найпростіший потік та які його властивості?

6. Сформулювати правило складання рівнянь Колмогорова.

7. Навести класифікацію СМО.

8. За яким параметром СМО поділяють на системи з очікуванням, змішані, з відмовами?

9. Якими показниками характеризують ефективність СМО з очікуванням?

10. Дати означення абсолютної та відносної пропускної здатності СМО.

11. Сформулювати умову існування усталеного режиму роботи СМО.

12. Вивести формулу для визначення відносної пропускної здатності системи з відмовами.

13. Що описують формули Ерланга?

14. Нарисувати структурну схему замкненої СМО.

15. Які характерні особливості замкнених СМО?