5.5. Системи масового обслуговування з відмовами

Нехай є система масового обслуговування з n приладами обслуговування. Тривалість обслуговування заявки описується показниковим законом розподілу з параметром:

На вхід системи надходить найпростіший потік заявок, який описується пуассоновським законом розподілу з параметром

Заявка, що надійшла на вхід системи в момент зайнятості всіх приладів обслуговування залишає систему, тобто ми маємо визначити СМО з відмовами.

Необхідно оцінити роботу такої СМО, тобто визначити критерії ефективності СМО з відомими.

Суть дослідження полягає в слідуючому:

знаходяться імовірності станів , для цього складаються і розв’язуються диференціальні рівняння ймовірностей

На основі ймовірностей знаходяться числові характеристики системи.

ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ СТАНІВ СМО З ВІДМОВАМИ.

Нехай в кожний момент часу система може знаходитись в одному з n+1 станів:

E₀, E₁, E₂, ..., E_k, ..., E_n,

де E_k (k=0, 1, 2, …, n) означає стан, коли в системі на обслуговуванні знаходиться k заявок.

Схема можливих переходів з стану в стан за досить малий інтервал часу (t, t+t) показана на рис. 5.3

Рис. 5.3

Рзглянемо стан Е_к. В момент він можливий в трьох несумісних випадках:

— в момент t система знаходилась в стані E_k (обслуговуванням зайнято k приладів) і за час t не надійшла ні одна заявка і не звільнився ні один прилад

— в момент t система знаходилися в стані E_k-1 (на обслуговуванні була k-1 заявка) і за час t надійшла одна заявка

— в момент часу t система знаходиться в стані E_k+1 (обслуговуванням зай­нято k+1 приладів) і за час t звільнився один із зайнятих приладів обслуговування

Пояснимо отримання виразів для визначення значень ймовірностей U_k,k; U_k+1,k; U_k-1,k.

Умовна імовірність U_k-1,k того, що за час t не з’явиться хоч би одна заявка

Тут і далі використовується розклад функції е^-х:

_{е-х = 1 – х + + …}

тобто .

Якщо то — нескінченно малі величини 2-го та 3-го порядку і їх можна не враховувати.

Умовна імовірність U_{k+1, k} того, що за час звільниться один приклад обслуговування а (k+1) зайнятих, виражається через імовірність протилежної події.

де — це імовірність того, що за час обслуговування одним каналом не буде завершене. Тоді

Підкреслимо ще раз, що ці співвідношення мають місце тому, що в пуассонівських СМО за малий проміжок часу не можуть одночасно завершити обслуговування два і більше ніж чим два прилади обслуговування.

Умовна імовірність u_k,k являє собою добуток двох ймовірностей:

1) імовірності того, що за час в системі обслуговування не з’являється ні однієї заявки. Ця імовірність дорівнює

2) імовірності того, що за час не звільниться ні один з k зайнятих приладів обслуговування. Ця імовірність дорівнює

_.

Тому

Відкидаючи малі величини вищих порядків, маємо:

Таким чином, маємо:

Перенесемо P_k(t) в ліву частину рівності, поділимо обидві її частини на і спрямовуємо до границі при . В результаті отримаємо диференціальне рівняння для імовірності.

Система диференціальних рівнянь для імовірності станів Р₁(t),..., Р_n(t) має вигляд:

(5.1)

Сукупність цих рівнянь (5.1) називають РІВНЯННЯМИ ЕРЛАНГА.

Інтегрування системи рівнянь (5.1) при початкових умовах

(в початковий момент всі прилади вільні) дає залежність Р_k(t) для будь-якого k. Імовірності Р_k(t) характеризують середнє завантаження системи і її зміни з часом.

ІМОВІРНОСТІ СТАНІВ Р_K(t) В СТАЛОМУ РЕЖИМІ.

Для будь-якого СМО з відмовами існує такий граничний режим, що при всі імовірності прямують до сталих границь

_{P0, P1, P2, …, Pn,}

А всі їх похідні — до нуля (завдяки умові стаціонарності).

При цьому система диференціальних рівнянь (5.1) перетворюється в систему алгебраїчних рівнянь:

_(5.2)

До рівнянь (5.1) що необхідно додати умову:

Ведемо допоміжний параметр який називається ПРИВЕДЕНОЮ ЩІЛЬНІСТЮ ЗАЯВОК, і розв’яжемо систему відносно невідповідних Р₀, Р₁,...,Р_n.

Величина характеризує середню кількість заявок на час обслуговування.

З першого рівняння маємо:

_(5.3)

З другого рівняння з врахуванням (5.3) маємо:

_(5.4)

Продовжуючи розв’язати таким чином систему (5.2), не важко переконатися в тому, що для будь-якого має місце формула:

_(5.5)

Для знаходження величини Р₀ скористаємося рівністю:

Звідки маємо:

_(5.6)

Підставляючи (5.6) в (5.5), знайдемо кінцевий розв’язок системи рівнянь (5.2):

_(5.7)

Формули (5.7) називаються формулами Ерланга і дають граничний закон розподілу числа зайнятих приладів обслуговування в залежності від характеристик потоку заявок ( ) і продуктивності системи обслуговування ( ).