5.4. Параметри смо і загальна методика дослідження

Дослідження будь-якої СМО завжди починається з вивчення вхідного потоку заявок і умов функціонування одного обслуговуючого приладу.

Метою вивчення є визначення закону розподілу тривалості обслуговування однієї заявки.

Далі слід дослідити організацію обслуговуючої системи і її структуру для того, що б виявити характер поведінки заявок, які надійшли в СМО на момент її повної загрузки, і дисципліни обслуговування. Це визначає тип СМО(з відмовами, з очікуванням, змішані системи).

Завершуючим етапом попереднього дослідження СМО є вибір критеріїв ефективності, за допомогою яких оцінюється якість обслуговування.

Характерна особливість математичних моделей СМО полягає в тому, що перебіг процесу обслуговування уявляється дискретним процесом з неперервним часом відліку.

Нехай вхідний потік заявок обслуговують n приладів. В кожний момент часу обслуговуюча система може знаходитись в одному з наступних n+1 станів: в момент t зайняті обслуговуванням або 0, або 1, або 2, або всі n приладів. Стан, коли в момент часу t зайняти обслуговуванням k приладів, позначимо через Е_к, а імовірність знаходження системи в стані Е_к на момент часу t — через P_k (t). Тоді процес масового обслуговування математично повністю описується сукупністю імовірних станів

Якщо в СМО виникає черга заявок на обслуговування, то її опис необхідно доповнити станом Е_n+s і відповідними імовірностями P_n+s(t). Стан Е_n+s означає зайнятість всіх n приладів обслуговування і наявність на вході системи черги з S=0,1,2,…. заявок.

Знання ймовірностей станів P_k (t), k=0,1,2,… дозволяє знайти цілий ряд важливих характеристик СМО:

Імовірність повної загрузки всіх приладів;

Імовірність появи черги на вході системи;

Середню долю зайнятих приладів і т. і.

Основна задача дослідження СМО полягає в визначенні ймовірностей P_k (t), k=0,1,2,….

Найпростіше вони обчислюються, якщо вхідний потік є найпростішим (Пуассоновським), а час обслуговування розподілений за показниковим законом.

Тут процес обслуговування представляє собою випадковий процес Маркова, для якого характерною відзнакою є відсутність післядії.

Система масового обслуговування, де має місце випадковий процес Маркова, називають пуассоновськими системами.

Імовірність стану P_k (t), (k=0,1,2,…) пуассоновських систем знаходять, як правило, шляхом складання диференціальних рівнянь та їх наступного розв’язку.

ЗАГАЛЬНА СХЕМА СКЛАДАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ІМОВІРНОСТЕЙ СТАНІВ P_k (t)

Методику дослідження продемонструємо на прикладі СМО з відмовами. На вхід СМО (а відмовами) надходить найпростіший потік заявок, який описується законом Пуассона:

_,

де V_k(t) — імовірність надходження k заявок за інтервал часу t;

 — параметр (інтенсивність) потоку.

Система має n обслуговуючих приладів.

Тривалість обслуговування описується показниковим законом розподілу

де G(t) — ймовірність того, що час обслуговування t_обc буде меншим наперед заданого значення t: G(t) = P(t < t_обс);

 — інтенсивність обслуговування;

t_обс — середній час обслуговування.

Система обслуговування може знаходитись в одному з п+1 станів:

Е_о — всі прилади вільні;

Е₁ — обслуговуванням зайнятий один прилад (в системі обслуговування знаходиться одна заявка);

Е_k — обслуговуванням зайняті k приладів (в системі на обслуговуванні знаходиться k заявок);

Е_n — всі n приладів зайняті обслуговуванням (в системі на обслуговуванні знаходиться n заявок).

Схема можливих переходів із стану в стан за досить малий інтервал часу (t, t+t) показана на рис. 5.2

E_o

E₁

E_k-1

E_k

E_k+1

E_n-1

E_n

… … ...

Рис. 5.2

Умовні імовірності переходу із стану E_i в стан Е_j позначені через u _{i j} (i, j=0,1,2,…n).

На схемі можливих станів показані тільки переходи із стану Е_k в сусідні стани Е_k-1 i E_k+1 і не показані «переходи» через ці стани, які відкинуті як практично неможливі. Дійсно, для здійснення подібних переходів (наприклад, E_k E_k+2) необхідно, щоб одночасно в СМО надходили дві заявки. Імовірність такої події в пуассонових СМО практично дорівнює нулю.

Визначивши імовірність переходів u_ij (i,j=0,1,2,…,n), можна скласти диференціальні рівняння для P_k (t).

Імовірність перебування системи в стані Е_к покажемо це на прикладі імовірності Р_о(t).

Зафіксуємо момент часу t і знайдемо імовірність Р_о(t+∆t) того, що в момент часу t+∆t система буде знаходитися в стані Е_о, це може відбутись у двох несумісних випадках:

— в момент часу t система знаходиться в стані Е_о і за час ∆t в систему не надійшло ні однієї заявки. Імовірність цієї події (переходу Е_о Е_о) дорівнює:

_{Р(Ео Ео) = Ро(t)  Uоо + Ро (t)  е-λ∆t≈ Ро (t)  (1 – λ∆t); ¹}

— в момент часу t система знаходилась в стані Е₁ і за час ∆∞t один з прикладів закінчив обслуговування. Імовірність цієї події (переходу Е₁Е_о) дорівнює

_{Р(Е1 Ео) = Р1(t)  U10 + Ро (t)  (1 – еn∆t) ≈ Р1 (t)  n∆t;}

Оскільки розглянуті події несумісні, то по теорії додавання ймовірностей маємо:

_{Р(t+∆t) = Р(Ео Ео) + Р(Е1 Ео) = Ро (t)  (1 – λ∆t) + Р1 (t)  n∆t}

Перенесемо Ро (t) в ліву частину рівності і поділимо обидві його частини на ∆t:

Спрямовуючи ∆t до нуля, маємо:

Якщо провести аналогічні викладки для станів Е_к (k=1, 2, …, n), то можна отримати систему диференціальних рівнянь ймовірностей станів Po(t), P₁(t), … P_n(t).

Виходячи з властивості стаціонарності при t  ∞ всі імовірності Po(t), P₁(t), …, P_n(t) прямують до самих границі Po, P₁, …, P_n, а всі їх похідні — до нуля.

Отримуємо систему алгебраїчних рівнянь для P_k (k= 0, 1, 2, ..., n). Розвязуючи цю систему, отримуємо формули для P_k:

Знання ймовірностей P_k (k = 0,1,2, …., n) дозволяє знайти числові характеристики СМО, які характеризують якість роботи СМО:

для СМО З ВІДМОВАМИ:

— імовірність відмовити в обслуговуванні,

— середнє число вільних від обслуговування приладів.

для СМО З ОЧІКУВАННЯМ:

— середня довжина черги;

— середнє число вільних від обслуговування приладів;

— імовірність присутності черги заявок на обслуговування;

— середній час очікування початку обслуговування.

Характеристики СМО змішаного типу співпадають з перерахованим вище.

Вказані характеристики дозволяють дати економічну оцінку систем масового обслуговування., повну вартість втрат від очікування заявок в черзі і від простою вільних приладів, а також підібрати оптимальне число обслуговуючих приладів.