5.3. Основні елементи систем масового обслуговування

Система масового обслуговування звичайно задається трьома елементами:

1. Вхідним потоком заявок (мається на увазі середня інтенсивність надходження заявок і статична модель їх надходження);

2. Обслуговуючий прилад (опис приладу включає вказівки на те, коли допускається обслуговування, скільки вимог може обслуговуватись одночасно і час обслуговування окремої заявки. Остання властивість характеризується статистичним розподілом тривалості обслуговування);

3. Дисципліною обслуговування (це означає спосіб, за яким для обслуговування обирається одна заявка з кількох, що надійшли, і проводиться її призначення на один із вільних приладів. В найпростішому випадку дисципліна обслуговування заклечається в обслуговуванні заявок в порядку їх надходження будь яким вільним приладом. Однак існує і багато інших властивостей).

Завдання СМО повинно також включати в себе опис поведінки заявки в момент її надходження. Вхідний потік заявок і тривалість обслуговування однієї заявки є випадковими величинами і описуються за допомогою імовірнісних методів.

Вхідний потік заявок. Завдання вхідного потоку

Потік заявок являє собою послідовність однорідних подій, які означають факт надходження заявки на вхід СМО. Звичайно цікавляться моментом надходження заявок.

Моменти надходження заявок на вхід СМО можуть бути цілком визначеними, інтервали між ними відомі заздалегідь. Такий вхідний потік називають ДЕТЕРМІНОВАНИМ.

На практиці найчастіше зустрічаються потоки, в яких і моменти надходження і інтервали часу між ними є випадковими величинами.

Для опису випадкового потоку використовується закон розподілу моментів надходження заявок на вхід СМО:

де tⁱ — і-й момент надходження заявки.

Ця функція визначає імовірність того, що за час (0, t₁) надійде рівно одна заявка, за час (0, t₂) надійде рівно 2 заявки і т. і, за час (0, t_k) надійде рівно k заявок.

В такій загальній постановці списувати потоки досить важко. На практиці найчастіше зустрічаються потоки, що мають деякі властивості, які дозволяють знайти простіші способи їх завдання.

СТАЦІОНАРНІ ПОТОКИ. Стаціонарний потік має ту властивість, що його імовірний розподіл з часом не змінюється. Інакше кажучи, де б не був розташований на часовій осі інтервал довжини t імовірність того, що в цьому інтервалі з’явиться k заявок, залежить тільки від величини t і не залежить від розташування даного інтервалу на часовій осі (від моментів t₁,t₂, t₃ і т.і.).

0

Рис. 5.2

Описану властивість називають стаціонарністю потоку. З математичної точки зору вона формується так: потік заявок буде стаціонарним, якщо для будь-якого t >0 і цілого k >0, імовірність того, що в інтервалі часу (t₀, t₀ + t) наступить k подій (заявок) одна і та ж для всіх t_0, тобто імовірність P_k(t₀, t) не залежить від t_0:

О РДИНАРНІ ПОТОКИ. Властивість ординарності потоку означає практичну неможливість появи двох і більше заявок в один і той же момент часу.

ПОТІК З ВІДСУТНІСТЮ ПІСЛЯДІЇ. Відсутність після дії полягає в тому, що імовірність надходження за відрізок часу t певної кількості заявок не залежить від того, скільки заявок уже надійшло в систему раніше, тобто наступний хід потоку не залежить від попереднього.

НАЙПРОСТІШИЙ ПОТІК

Особливий інтерес викликають так звані найпростіші потоки. Практично більшість всіх задач ТМО, які доведені до кінцевих розрахункових формул і отримали практичне застосування, виходять з припущення, що вхідний потік — найпростіший.

Найпростішим потоком заявок називають потік, який одночасно має властивості стаціонарності, ординарності і відсутності післядії.

Для найпростішого потоку імовірність появи рівно k заявок в інтервалі часу довжиною t визначається формулою Пуассона:

_,

де   0 — стале число, яке називається параметром потоку.

Оскільки потік стаціонарний, то не має значення, де на осі часу буде розташований інтервал довжини t.

Зміст параметру  полягає в наступному: математичне сподівання числа заявок, що надійшли в інтервалі часу t_, дорівнює

При t =1 математичне сподівання числа заявок дорівнює .

Таким чином  являє собою середнє число заявок, які надійшли в одиницю часу або так звану середню щільність потоку.

Знання тільки параметру  достатньо для повного опису найпростішого потоку.

Найпростіший потік, також досить повно описується законом розподілу інтервалів часу між двома послідовними заявками

_.

Випадковий інтервал часу між двома послідовними заявками підпорядковується показниковому закону розподілу

Середня довжина часового проміжку між двома заявками дорівнює 1/, тобто є величиною, оберненою до параметра потоку.

ЧАС ОБСЛУГОВУВАННЯ

Час обслуговування є найважливішою характеристикою функціонування кожного приладу системи обслуговування. Він показує, скільки часу витрачається на обслуговування однієї заявки даним обслуговуючим приладом.

Час обслуговування є випадковою величиною, що обумовлюється як не ідентичністю заявок, що надходять, так і нестабільністю праці обслуговуючих приладів.

Час обслуговування як випадкова величина повністю описується законом розподілу

_{G(t) = P(tобс<t).}

Функція G(t) визначає імовірність того, що час обслуговування t_обс буде меншим наперед заданого значення t. Це визначається з досліджень на основі статистичних методів аналізу чисельних значень часу обслуговування реальних систем.

Закони розподілу тривалості обслуговування можуть бути найбільш різноманітними. Однак в теоретичних і практичних додатках велике розповсюдження отримав показниковий закон розподілу.

Слід зазначити, що показниковий закон розподілу взагалі широко використовується при опису різних характеристик СМО, оскільки при цьому значно спрощується всі розрахунки. В той же час розробка методів розв’язання задач масового обслуговування з довільними законами розподілу зустрічає величезні труднощі.

При показниковому законі функція розподілу часу обслуговування має вигляд:

_.

Параметр називається інтенсивністю обслуговування і має просту фізичну суть. Величина, обернена до (1/ ), є середнім часом обслуговування t_обс, тобто:

_{tобс = 1/ .}

Час обслуговування описується і іншими законами розподілу, наприклад законом Ерланга.

Дослідження показали, що оскільки кількісні характеристики СМО досить мало залежать від виду закону розподілу часу обслуговування, а в основному, залежать від його середнього значення t_обс, то в теорії масового обслуговування найчастіше припускають, що час обслуговування розподілений за показниковим законом.