Формула ньютона-лейбніца
Нехай функція – неперервна на , тоді має місце наступна формула Ньютона-Лейбніца:
Де
– будь-яка з первісних функції
на
.
Доведення:
Нехай функція
– неперервна на
,
тоді згідно з наслідком до другої
властивості інтеграла зі змінно верхньою
межею функція
є первісною
.
– будь-яка інша первісна. Тоді згідно
із твердженням про первісні функції
одержимо, що:
Покладемо
:
Покладемо
:
Метод інтегрування частинами
Нехай функції u(x) , v(x), u´(x), v´(x) неперервні на [a,b]. Тоді має місце наступна формула:
-
або
=
-
.
Доведення:
За допомогою правила диференціювання
добутку можна отримати рівність:
Ця рівність означає,що функція
є первісною для
.
Оскільки остання функція є неперервною
на проміжку [a,b],
то за допомогою формули Ньютона - Лейбніца
одержимо, що
=
.
З останньої рівності безпосередньо
випливає формула (1):
=
-
.
Приклад
=
=
-
=
=
Заміна змінної у визначеному інтегралі
Теорема
Нехай виконуються умови:
Функція неперервна на [a,b].
Функція
,
а також
неперервні на проміжку [
].
Причому
t
[
]
виконується нерівність a
≤
≤
b, тобто значення
функції
не виходить за межі проміжку [a,b].
=a,
=b.
Тоді має місце наступна формула:
=
(1)
Доведення
Нехай виконуються умови теореми. Оскільки функція неперервна на [a,b], то за допомогою формули Ньютона- Лейбніца, одержимо :
(2), де
-
будь-яка первісна для
.
Оскільки
неперервна на [a,b],
то згідно з наслідком до другої властивості
інтеграла зі змінною верхньою межею,
цей інтеграл (який є однією з первісних
для
)
є диференційованою функцією. Тому
будь-яка інша первісна, у тому числі
,
диференційована на [
],
диференційована на проміжку.
Тоді
диференційована [α,β]. Причому
виконується рівність:
=
Остання рівність означає, що
-
первісна для
.
Оскільки остання функція є неперервною
на проміжку [
],
то згідно з формулою Ньютона – Лейбніца,
одержимо наступну рівність:
=
(3)
(за третьою умовою теореми)
Порівнюючи рівності (2) і (3) одержимо рівність (1), що і треба було довести.
Якщо при обчисленні визначеного інтеграла зроблена заміна, то при знаходженні цього інтеграла немає потреби повертатися до вихідної заміни.