Формули середнього значення

Властивість 9.

Нехай виконані умови:

1. Функція – інтегрована на проміжку ;

2. .

Тоді має місце формула середнього значення:

Доведення:

1. Розглянемо випадок , тоді за властивістю 7:

Оскільки існує, то .

2. Розглянемо тоді для проміжку виконується властивість 7. Тоді можемо записати:

Наслідок

Якщо умови властивості 9 виконані і крім того функція – неперервна на , то має місце формула середнього значення для неперервної функції:

Де .

Доведення:

Нехай умови виконані, тоді за 2 теоремою Вейерштрасса функція досягає своїх точних верхньої і нижньої меж на . А тоді згідно з 2 теоремою Больцано-Коші для одержаного у властивості 9 числа знайдеться число , а це означає, що виконується рівність (2).

Геометрична інтерпретація формули середнього значення

Нехай функція – неперервна і невід’ємна на проміжку . Формула (2) з геометричної точки зору означає, що площа криволінійної трапеції = площі прямокутника за такой ж основою, що і у криволінійної трапеції і з висотою .

Властивість 10. Узагальнена формула середнього значення

Нехай виконані умови:

1. Функція f(x), а також функція – інтегровані на проміжку .

3. , тобто на проміжку функція не змінює знак.

Тоді - (1) ( якщо покласти , отримаємо формулу з вл. 9).

Доведення:

і будемо вважати, що . З другої умови теореми випливає, що виконується нерівність:

(2)

Якщо помножимо нерівність (2) на функцію , то отримаємо:

(3)

З цього слідує, що:

(4)

Якщо , то

1. Якщо , то . Отже за ми можемо взяти будь-яке число з ;

2. Якщо . Розділивши нерівность (4) на одержимо: (5). Отже, . Покладемо у нерівності (5), що Перший випадок доведено.

2) У всіх інших випадках формула (1) залишається правильною, оскільки зміна знаку функції з «+» на «-», а також зміна меж інтегрування на протилежні з на не змінює формулу (6).

Зауваження:

Якщо умови теореми виконані і функція неперервна на , то формулу (1) можна подати у вигляді:

, де .

Визначений інтеграл зі змінною верхньою межею

Зауваження:

У визначеному інтегралі змінну інтегрування можна позначати будь-якою літерою або буквою, тобто має місце рівність::

Нехай функція інтегрована на буде інтегрована на , де тобто змінна – верхня межа.

Визначений інтеграл, що має вигляд називається визначеним інтегралом функції зі змінною верхньою межею.

Властивість 1.

Якщо функція інтегрована на проміжку , то Ф( неперервна на .

Доведення:

Нехай Введемо позначення

Розглянемо приріст функції .

Якщо застосувати формулу середнього значення, то (*), де .

Якщо в рівності (*) перейти до границі, коли , то одержимо: . А це означає, що функція – неперервна в точці . Оскільки точка була обрана довільно, то Ф – неперервна на .

Властивість 2.

Якщо функція – інтегрована на проміжку і неперервна в точці . Тоді функція Ф диференційована в точці .

Доведення:

Нехай умови нашого твердження виконано тоді з рівності (*) ( властивості 1) :

(1)

Де . Оскільки функція – неперервна в точці , то це означає, що буде виконуватись нерівність:

виконується нерівність а значить і :

Причому – фіксована – змінна (2)

Одержимо ,

Якщо перейти до границі в рівності (1), то одержимо . Це означає, що функція Ф має похідну в точці яка дорівнює .

Наслідок:

Якщо – неперервна в то Ф( диференційована на . Тобто . Це означає, що можна розглядати як первісну .