Суми дарбу

Нехай функція f(x) визначена на проміжку [a,b]. Розіб’ємо цей проміжок на n частинних проміжків [x_i-1, x_i].

Введемо позначення: ,

Введемо дві суми:

Ці суми називаються нижніми і верхніми сумами Дарбу, що відповідають даному розбиттю сегмента [a,b].

Твердження 3. Нехай , s, S – нижня і верхня суми Дарбу, що відповідають даному розбиттю [a,b], тоді для будь-якого вибору проміжних точок ε_i виконується нерівність

Якщо задане розбиття сегмента [a,b] на n [x_i-1, x_i], то виконується нерівність

( вибору ε_i )

Отже, (i=1,2,…,n)

Просумуємо ці нерівності:

Отже, виконується нерівність (*), що і треба було довести.

Відзначимо, що нижню і верхню суму Дарбу можна подати у вигляді

,

(для даного розбиття [a,b])

Геометрична інтерпретація сум Дарбу

Будемо вважати, що функція f(x) – неперервна і невід’ємна на [a,b].

Побудуємо графік функції

s – з геометричної точки зору уявляє собою площу ступінчатої фігури, що цілком міститься в криволінійній трапеції.

S – з геометричної точки зору уявляє собою площу ступінчатої фігури, що містить криволінійну трапецію.

Властивості сум Дарбу

Властивість 1. Нехай s₁, S₁ – нижня і верхня суми Дарбу, що відповідають розбиттю Т₁[a,b], а s₂, S₂ – суми Дарбу, що відповідають розбиттю Т₂[a,b]. Причому всі точки ділення Т₁ міститься серед точок ділення Т₂, тоді виконується нерівність: , . Тобто при додаванні точок ділення нижня сума Дарбу не зменшується, а верхня не збільшується.

Достатньо довести цю властивість для випадку, коли додається одна точка.

Нехай ця точка

Тоді введемо позначення

Доведемо, що , для цього знайдемо різницю S₂-S₁

Отже, .

Властивість 2. Нехай s₁, S₁ – суми Дарбу, що відповідають розбиттю Т₁, а s₂, S₂ – суми Дарбу, що відповідають розбиттю Т₂.

Тоді нижня сума Дарбу одного розбиття не перевищує верхню суму іншого.

,

Введемо розбиття Т₃, що складається з точок ділення розбиття Т₁ і Т₂.

s₃, S₃ – суми Дарбу розбиття Т₃

Тоді з властивості 1 для розбиття Т₁ і Т₃ випливає , (1)

З властивості 1 для Т₂ і Т₃ випливає , (2)

розбиття (і для Т₃) одержимо, що (3)

З (1), (2), (3) випливає, що , тобто .

Аналогічно для .

Інтеграли дарбу

Зауваження! Множина нижніх сум Дарбу, що відповідають різним розбиттям сегменту обмежена зверху будь-якою верхньою сумою. Аналогічним чином верхніх сум Дарбу, що відповідають різним розбиттям сегменту [a,b] обмежена знизу будь-якою нижньою сумою.

Означення 1. Нижнім інтегралом Дарбу називається точна верхня межа нижніх сум Дарбу. .

Означення 2. Верхнім інтегралом Дарбу називається точна нижня межа верхніх сум Дарбу.

Твердження 4. Нижній інтеграл не перевищує верхнього інтегралу .

Доведення: припустимо протилежне, => З означення1 (верхньої точної межі): : 1) 2) . . Візьмемо , тоді (1). Аналогічно з означення 2 (нижньої точної межі): => , тоді => (2) З (1) та (2) => => , прийшли до протиріччя.

Наслідок. З означень інтегралів Дарбу => виконується для будь-якого розбиття

Теорема (про існування визначеного інтегралу)

Для того, щоб існував визначений інтеграл функції на необхідно і достатньо, щоб виконувались рівність , де і - верхня та нижня суми Дарбу, - діаметр розбиття проміжку .

Доведення.

Необхідність: => : розбиття , . : , за означенням визначеного інтегралу. З останньої нерівності випливає, що (1). Для данного розбиття має місце рівність: ; ; Оскільки => з (1) отримаємо . З нерівностей (1) та (2) випливає, що , це означає,що що різницю можна зробити як завгодно малою => , необхідність доведена.

Достатність: . Для розбиття проміжних точок, згідно з наслідком до твердження 4: => (при ). => (3). Нехай - з інтегрованих сум, що відповідає тому ж розбиттю сегменту, що і суми Дарбу . Тоді згідно із твердженням (3): (4). З нерівностей (3) та (4) => (при ) =>

Наслідок. Оскільки виконуються рівності: = , , , то необхідну і достатню умову інтегрованості можна подати у вигляді: (**). Величину називають коливанням функції на проміжку .