Інтегрування ірраціональних виразів

У загальному випадку інтегрування ірраціональних функцій не можна звести до елементарних функцій, тобто їх не можна про інтегрувати у скінченному вигляді. Але у деяких випадках за допомогою метода підстановки вдається звести інтеграл від ірраціональної функції до інтеграла від деякої раціональної функції. Це означає, що даний інтеграл можна обчислити у скінченному вигляді.

Раціональні функції будемо позначати, як де - змінні, відносно яких дана функція є раціональною.

Приклад.

I. Інтегрування дробово-лінійної функції.

Нехай задано такі умови:

Зробимо заміну змінної:

де N = НСК( ), тоді з цього випливає, що:

З (1) випливає:

Таким чином, інтеграл від ірраціональної функції відносно x, ми звели до інтеграла від раціональної функції відносно змінної t. Як відомо інтеграл (2) завжди можна про інтегрувати в скінченному вигляді. Повернувшись до змінної x за допомогою підстановки одержимо необхідний результат, тобто інтеграл від змінної x.

Приклад.

Поділивши многочлен на многочлен з остачею, отримаємо:

Отже,

=

II. Інтегрування диференціальних біномів (біноміальних диференціалів).

Означення. Диференціальним біномом (біноміальним диференціалом) називається вираз вигляду:

де m, n, p Î Q, a, b Î R.

У загальному випадку, диференціальні біноми не можна про інтегрувати у скінченному вигляді. Але, за допомогою деяких підстановок, які називаються підстановками Чебишева, про інтегрувати диференціальний біном вдається.

1. Нехай

де m, n, p Î Q, a, b Î R. Крім того, нехай p Î Z. Тоді має місце така підстановка:

де r – НСК знаменників чисел m і n (тобто, якщо то r – НСК ).

З цього випливає, що Тоді:

Отже, у такому випадку можна знайти у I у скінченному вигляді, а після цього повернутися до заміни, тобто: .

2. Нехай

де m, n, p Î Q, a, b Î R, крім того, Î Z. Тоді, нехай , де s – знаменник числа p (spÎ Z).

Тоді:

Так як Î Z, sp + s - 1Î Z, то:

а отже I можна знайти у скінченному вигляді.

3. Нехай

де m, n, p Î Q, a, b Î R, крім того, Î Z. Тоді має місце така підстановка:

де s – знаменник числа p (spÎ Z).

Тоді:

так як Î Z, Î Z.

Зауваження. Доведено, що якщо жодне з 3-х чисел то інтеграл від диференціального бінома не можна виразити у скінченному вигляді.

Приклад.

отже застосуємо другу підстановку:

III. Інтегрування квадратичних ірраціональностей.

Нехай:

ОДЗ: .

1. Перша підстановка Ейлера.

Нехай D < 0.

Отже отримали, що і , тобто чисельник цього виразу не впливає на знак початкового виразу, тобто знак співпадає зі знаком . Тоді, за умовою

Підстановка: називається першою підстановкою Ейлера. Для визначеності, нехай: . Звідси знайдемо х і dx:

Отже, отримали раціональну функцію, яку можна про інтегрувати у скінченному вигляді.

2. Друга підстановка Ейлера.

Нехай D = > 0. Нехай корені тричлена . Тоді:

Здійснимо таку підстановку:

Інтеграл вигляду (*) завжди можна про інтегрувати в скінченному вигляді, тобто подати у вигляді скінченної суми елементарних функцій.

Зауваження. Першу підстановку також можна зробити і для D > 0, при цьому розглядають 2 випадки:

1. a > 0. У такому випадку перша підстановка використовується в чистому вигляді.

2. a < 0, але c > 0. У цьому випадку, застосувавши підстановку , можна одержати інтеграл, що містить квадратичну ірраціональність, а, отже його можна про інтегрувати, за допомогою першої підстановки Ейлера.