Інтегрування раціональних функцій Інтегрування многочленів

Нехай задана функція f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀= , ( a_i є R )

Інтегрування найпростіших елементарних дробів

Найпростішими елементарними дробами називаються наступні функції:

1. 

2. 

3. 

4. 

Q, p, q, A, M, N є R

k є N, k>1

1. 

2. 

3. 

4. 

I_k =

I_k =

Застосувавши рекурентну формулу (2) певне число раз, зведемо обчислення інтегралу I_k до обчислення інтегралу I₁.

I₁ = його обчислення дорівнює випадку 3

В результаті треба повернутися від t до x.

Інтегрування раціональних дробів

Загальний випадок

Раціональним дробом називається вираз вигляду , де і – многочлени степеня m i n відповідно.

Раціональний дріб (1) називається правильним, якщо m<n, і неправильним якщо m≥n

Зауваження: будь-який неправильний дріб можна подати у вигляді суми многочлена і правильного дробу.

Приклад. (використовується ділення в стовпчик)

В курсі алгебри доводиться наступна теорема:

Нехай знаменник правильного раціонального дробу можна подати у вигляді

(2)

Де

Тоді для функції має місце подання

(3)

– невизначені коефіцієнти.

Для того, щоб знайти ці коефіцієнти застосуємо метод невизначених коефіцієнтів та метод викреслення.

1. Метод невизначених коефіцієнтів

Згідно з цим методом сума дробів в правій частині рівності приводиться до спільного знаменника і одержаний в результаті цього чисельник порівнюваний з функцією P(x) тобто чисельником даного дробу

Приклад.

x³: 2 = A + M A=1

x²: 1 = B – 2M + N M=1

x¹: 1= B + M – 2N N=1

x⁰: 2= -A + B + N B=2

Таким чином ми отримали:

=>

=

Відповідь:

2. Метод викреслення

Цей метод доцільно використовувати лише тоді, коли знаменник дробу має прості дійсні корені, коли має місце:

(4)

A_i є R

Знайдемо коефіцієнти A_i. Помножимо обидві частини рівності на (x-a_i)

Ця рівність має місце для будь-яких х, в тому числи x=a_i , покладемо x=a_i і в результаті отримаємо

Таким чином, щоб знайти коефіцієнти в знаменнику дробу треба викреслити дужку з виразом (x-a_i) і у виразі, що залишився покласти x=a_i

Приклад 2.

Виходить:

Метод Остроградського

Зауваження: як випливає з попередніх розділів (I-III) інтеграл від раціональної функції завжди можна обчислити і він зводиться до суми 3-х функцій: логарифмічної, арктангенса, раціональної.

Метод Остроградського дозволяє алгебраїчним шляхом виділити раціональну частину інтегралу від раціональної функції.

Метод Остроградського доцільно використовувати коли знаменник раціонального дробу має кратні корені, тоді інтеграл цієї функції можна подати у вигляді

Q₁(x) – найбільший спільний дільник многочленів Q(x) та Q’(x); Q₂(x)=

P₁(x), P₂(x) – многочлени з невизначеними коефіцієнтами, степені яких на одиницю менше, ніж їх знаменники.

Якщо знаменник Q(x) має наступний вигляд:

то

Продиференціюємо рівність (1)

Далі використати метод невизначених коефіцієнтів.

Приклад.

• 

x⁵: 0=M

x^4: 0=3A-4A+N

x³: 0=2B-4B+2M

x²: 0=C+3A-4C+2N

x¹: 0=2B-4D+M

x⁰: 1=C+N