ЗМІСТ

ПОНЯТТЯ РІВНОМІРНОЇ НЕПЕРЕРВНОСТІ ФУНКЦІЇ. ТЕОРЕМА КАНТОРА 1

Теорема Кантора 2

НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ 3

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла 3

Властивості невизначеного інтеграла 3

Таблиця інтегралів для деяких елементарних функцій 4

Найпростіші правила інтегрування 4

Метод інтегрування частинами 5

Метод заміни змінної 5

ІНТЕГРУВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ФУНКЦІЙ 6

Інтегрування многочленів 6

Інтегрування найпростіших елементарних дробів 6

Інтегрування раціональних дробів 7

Метод Остроградського 9

ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ. ПОНЯТТЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛУ 16

Геометрична інтерпретація інтегральної суми та визначеного інтегралу 17

СУМИ ДАРБУ 18

Геометрична інтерпретація сум Дарбу 18

Властивості сум Дарбу 19

Поняття рівномірної неперервності функції. Теорема кантора

Нехай функція y=f(x) визначена на замкнутому інтервалі [a, b]. Функція f(x) називається неперервною в точці х=х₀, якщо:

1) =f(x₀) (формальне означення).

Функція f(x) називається неперервною в точці х=х₀, якщо:

2) ∀ε>0 ∃δ(ε)>0 ∀ x ∈ [a,b] |x-x₀|< δ |f(x)-f(x₀)|< ε (за Коші (на мові ´´ε – δ ´´).

3) ∀ {x_n}->x₀ (∀n ∈ N, x_n ∈ [a,b] {f(x)}-> f(x₀) (за Гейне (мова послідовностей)).

Функція f(x) називається неперервною на множині Х, якщо вона є неперервною у кожній точці цієї множини, тобто, якщо ∀ x ∈ X ∀ ε>0 ∃δ(ε,x)>0:

∀ x´ ∈ X, |x-x´|< δ : |f(x)-f(x´)|< ε.

Функція y=f(x) називається рівномірно неперервною на множині Х, якщо ∀ ε>0 ∃δ(ε): ∀ х, x ´ ∈ X |x- x ´|< δ: |f(x)- f(x ´)|< ε.

Відзначимо, що для рівномірної неперервності число δ одне для всіх точок x ∈ X (залежне від ε). А при «звичайній» неперервності у загальному випадку своє δ для кожного х. (Причому спільно δ не існує).

Приклад 1

y=f(x)=x² X =[-l; l], l- const(l>0)

Доведемо, що ця функція буде рівномірно неперервною. Треба довести, що ∀ ε>0 ∃δ(ε)>0: ∀ x´, x´ ∈ [-l;l], |x´-x´´|< δ, |(x´)² - (x´´)²|< ε.

Розглянемо останню нерівність:

|(x´)²-(x´´)²|=|x´-x´´|*|x´+x´´|<|x´-x´´|*||x´|+|x´´||< δ*2l= ε, де |x´ - x´´|< δ , |x´ + x´´|<2* δ.

Звідси маємо, що δ=

Приклад 2

y=f(x) = x² X = (-∞; +∞)

Побудова заперечення

1. ∀→∃

2. ∃→∀

3. <→≥

∃ ε>0: ∀ δ>0 ∃ x´, x´ ∈ (-∞; +∞), |x´-x´´|< δ |(x´)²-(x´´)²|≥ ε

x´= , x´´= + |x´-x´´|= < δ

|( x´)²-(x´´)²|=|x´-x´´|*|x´ + x´´|= ≥1= ε

∃ ε=1: ∀δ>0, ∃ , + ∈ (-∞; +∞), |x´ - x´´|< δ, |(x´)²-(x´´)²|≥ ε. Отже, ми довели, що на нескінченному проміжку функція є рівномірно неперервною.

Теорема Кантора

Означення

Якщо функція f(x) неперервна на сегменті [a;b], то вона рівномірно неперервна на цьому сегменті.

Доведення(від супротивного)

Нехай умова теоремі виконана, тобто f(x) неперервна на [a;b], але не рівномірно неперервна. Це означає, що треба довести, що ∀ε>0 ∃δ(ε)>0 ∃ x´, x´´ ∈ [a,b] |x´ - x´´|< δ |f(x´) - f(x´´)|≥ ε.

Візьмемо послідовність { δ _n}→0 (∀ n ∈ N δ _n>0) з додатних чисел, що збігається до 0.

(Наприклад, δ _n= ). ∀ δ _n>0 x_n´ , x_n´´ ∈ [a,b], |x_n´-x_n´´|< δ_n |f(x_n´)-f(x_n´´)|≥ ε (1) (Припущення, що (1) правильне).

Ми побудували дві послідовності: {x_n´}, {x_n´´}. Оскільки послідовність {x_n´} складається з елементів сегмента [a, b], то вона є обмеженою і тому згідно з теоремою Больцано - Вейерштрасса з неї можна виділити збіжну послідовність {x_nk´}.

Нехай =x₀ (2), очевидно, що x₀ ∈ [a,b].

Розглянемо |x_nk´´-x₀|=|(x_nk´´ - x_nk´)+(x_nk´-x₀)| |x_nk´´ - x_nk´|+|x_nk´ - x₀|→0, де |x_nk´´- x_nk´|, |x_nk´-x₀|→ 0 (при k→∞). Це означає, що →x₀ (3). Оскільки за умовами теореми функція f(x) неперервна на сегменті [a,b], то вона буде тепер і в точці x₀ , що належить сегменту.

Згідно з означенням неперервності функції в точці за Гейне, одержимо, що

) = f(x₀), ) = f(x₀). Звідси випливає, що |f(x´_nk)-f(x´´_nk)|→0(при k→∞)(4). Одержана умова (4) суперечить умові (1), якщо замість послідовності {x_n} взяти {x_nk}. Одержане протиріччя доводить теорему.

Означення

Коливанням функції f(x) на проміжку [a, b] називається ω=M-m, де M=sup _{x∈ [a,b]} f(x), m=inf _{x∈ [a,b]}f(x).

Наслідок з теореми Кантора

Нехай функція f(x) неперервна на проміжку [a,b]. Тоді ∀ε>0 ∃δ >0 таке що, якщо розбити проміжок [a, b] довільним чином на частинні проміжки з довжинами менше, ніж δ, то коливання функції f(x) на цих проміжках не перевищує ε.

Оскільки функція f(x)=x² неперервна на [-l, +l], то за наслідком випливає, що вона рівномірна (суттєво, що проміжок замкнений). Контрприклад: y= , [0,1].