2. Метод Ритца

Метод Ритца - прямой метод нахождения приблизительного решения краевых задач вариационного исчисления.

Метод предусматривает выбор пробной функции, которая должна минимизировать определенный функционал, в виде суперпозиций известных функций, которые удовлетворяют граничным условиям. При этом задача сводится к поиску неизвестных коэффициентов суперпозиции. Пространственный оператор в операторном уравнении, который описывает краевую задачу, должен быть линейным, симметрическим и положительно-определенным.

Метод Ритца позволяет найти неизвестные функции перемещений из условия минимума функционала полной энергии деформации.

Рассмотрим функционал энергии:

= (1)

Требуется найти минимум функционала (3.1), т. е. найти функции u(x, y), v(x, y) , w(x, y) , заданные в некоторой области D = {0 ≤ x ≤ a; 0 ≤ y ≤ b}, удовлетворяющие некоторым однородным краевым условиям на границе Γ , при которых функционал (1) имеет минимальное значение. Приближенное решение поставленной задачи будем искать в виде:

u(x,y)=u_N= ,

v(x,y)=v_N= ,

w(x,y)=w_{N= .}

Чтобы избежать двух индексов, представим перемещения в виде:

U(x,y)= ;

V(x,y)= ;

W(x,y)= . (2)

Здесь U(I ), V(I ), W(I ) – неизвестные числовые параметры; X1(I ), X 2(I ), X 3(I )– известные аппроксимирующие функции переменной x , удовлетворяющие при x = 0, x = a заданным краевым условиям; Y1(I ), Y 2(I ), Y3(I ) – известные аппроксимирующие функции переменной y , удовлетворяющие при y = 0, y = b заданным краевым условиям. Функции X1(I ) − X3(I ) , Y1(I ) − Y3(I ) называются базисными функциями.

Подставляя (2) в (1) и выполняя интегрирование от известных функций, сведем функционал (1) к функции:

J=J(U(I),V(I),W(I)) (3)

параметров U(I ), V (I ), W(I ), I =1,…,N .

Чтобы функция (3.3) имела минимум, ее частные производные по переменным U(l),V (l),W(l), l =1,.., N должны обращаться в нуль:

(4)

Система (4) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, для решения которой можно применять метод Гаусса. Найденные значения параметров U(I ), V(I ), W(I ) подставляем в разложения (2) и получаем приближенное решение поставленной задачи. Существование минимума функционалов полной энергии деформации элементов строительных конструкций (стержень, плита, оболочка) доказано.

3. Расчеты напряженно - деформированного состояния балки

Исходные данные:

Вариант- 9

Материал балки	Е, МПа	q1, МПа	q2, МПа	h, м	l, м	m
сталь	2,1·105	1,34·10-2	0,67·10-2	0,09	13,5	105
бетон	2,9·104	1,848·10-3	3,696·10-3

1. Расчет линейно-упругой задачи для стальной балки

При линейно - упругом деформировании ,

где ,

В этом случае

,

Функционал примет вид

Используем метод Ритца при аппроксимации в виде

Найдем производную от Э по W1 и приравняем к ее к нулю:

Получаем алгебраическое уравнение относительно неизвестного параметра , которое после преобразования примет вид

AW1-Bq=0, где ,

Находим прогиб в балке по формуле:

Для Стали
A	B	I	E	q1	h	l	z
0,2525421	8,594366927	0,00006075	210000	0,0134	0,09	13,5	0,045
				q2		6,75
				0,0067
Для q1
W1	0,456021085	м
χ1	0,024695461
σ 1	233,3721032	МПа	σ доп.	360	МПа
Для q2
W1	0,228010542	м
χ1	0,01234773
σ 2	116,6860516	Мпа

Согласно условия

Ни одно значение напряжения не превышает предельно допустимое значение, т.е. балка не разрушится под действие нагрузки.

На рис. 1 показана зависимость прогиба балки W от нагрузки q

Рис. 2 Зависимость прогиба балки по ее длине.