Министерство образования и науки Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

Автомобильно-дорожный факультет

Кафедра прикладной математики и информатики

Расчеты напряженно - деформированного состояния балки

Выполнил студент гр. 6-См-1 Мельников Р. В.

Руководитель Семенов А. А.

Санкт-Петербург

2016

Содержание

Введение……………………………………………………………………………………………………….2

1. Классификация математических моделей………………………………………………3

2. Метод Ритца………………………………………………………………………………………..……5

3. Расчеты напряженно - деформированного состояния балки………….…….7

   1. Расчет линейно-упругой задачи для стальной балки…………….…….7

   2. Расчет нелинейно-упругой задачи для стальной балки……….….…..9

   3. Расчет линейно-упругой задачи для бетонной балки………….…….12

   4. Расчет задачи ползучести для бетонной балки………………………….13

Заключение………………………………………………………………………………..……………….15

Список используемой литературы…………………………………………………………….16

Введение

С появлением электронно-вычислительных машин был разработан новый способ теоретического исследования сложных процессов, т.е. исследование естественнонаучных проблем средствами вычислительной математики.

Суть вычислительного эксперимента состоит в составлении математической модели изучаемого процесса или явления, которая представляет собой некоторые математические уравнения, затем разрабатывается вычислительный алгоритм для решения этих уравнений, составляется программа для ЭВМ и проводится расчет конкретных вариантов состояния объекта при изменении входящих в уравнение параметров. Т. о. основой изучения различных объектов является построение математической модели их функционирования.

Целью курсовой работы является разработка математических моделей деформирования элементов строительных конструкций, построение методики исследования напряженно-деформированного состояния стальной и бетонной балок.

1. Классификация математических моделей

Математическая модель – математическое представление реальности, один из вариантов модели, как системы, исследование которой позволяет получать информацию о некоторой другой системе.

Процесс построения и изучения математических моделей называется математическим моделированием.

Математические модели можно классифицировать по нескольким основным признакам.

1. Статические и динамические модели

Модель называется статической, если значение выхода зависит от значения входа в один и тот же момент времени. В динамических моделях значение выхода может зависеть от всего прошлого входного процесса. Для динамических моделей предметом изучения является изменение исследуемого объекта во времени.

2. Детерминированные и вероятностные модели.

Если математическая модель включает случайные величины, подчиняющиеся статистическим законам, то она называется вероятностной или стохастической. Математическая модель, не содержащая случайных компонентов, называется детерминированной.

3. Дискретные и непрерывные модели.

Величины могу быть двух типов – дискретные, т. е. принимающие отдельные значения, допускающие естественную нумерацию, и, непрерывные, принимающие все значения из некоторого интервала. Возможный также смешанный случай, например, когда на одном интервале величина ведет себя как дискретная, а на другом – непрерывная. Подобным образом и математические модели могут быть либо дискретными, либо непрерывными, либо смешанными. Надо учитывать возможность применения либо дискретного, либо непрерывного аппаратов при построении математической модели и способа ее исследования.

4. Линейные и нелинейные модели.

Линейная зависимость одной величины от другой – это пропорциональность их приращений, т. е. зависимость вида y=ax+b, откуда получаем △y=a△x. Аналогично, определяется понятие и линейной модели. Если модель рассматривать как преобразователь, для которого каждому входу соответствует некоторый выход. Тогда модель называется линейной, если в ней выполняется принцип суперпозиции, т.е. при сложении входов складываются и выходы, при умножении входа на любое число выход умножается на то же число. Пользуясь принципом суперпозиции, нетрудно, найдя решение в каком – либо случае, построить решение в более общей ситуации. Поэтому о качественных свойствах общего случая можно судить по свойствам частного – различие между двумя решениями носит лишь количественный характер.

Одним из важнейших свойств математических моделей является их универсальность. Его сущность заключается в том, что одними и теми же математическими моделями могут описываться совершенно различные по природе процессы, т.е. одни и те же приемы и методы построения и исследования математических моделей пригодны для различных задач.

Однако решение таких задач требует интегрирования сложной системы дифференциальных уравнений в частных производных и сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому при решении прямой задачи часто используют приближенные методы, например прямые методы вариационных задач (метод Ритца), а также метод конечных элементов.