2.1.4 Середня квадратична величина

Якщо при заміні індивідуальних величин ознаки на середню величину необхідно зберегти незмінною суму квадратів вихідних величин, то середня буде квадратической середньої величиною. Її формула така: -для простої. -для зваженої. Наприклад, є три ділянки земельної площі зі сторонами квадрата: х ₁ = 100 м ; Х ₂ = 200 м ; Х ₃ = 300 м . Замінюючи різні значення довжини сторін на середню, ми, очевидно, повинні виходити з збереження загальної площі всіх ділянок. Арифметична середня величина (100 + 200 + 300): 3 = 200 м не задовольняє цій умові, оскільки загальна площа трьох ділянок зі стороною 200 м була б дорівнює: 3 * ( 200 м ) ² = 120 000 м ² . У той же час площа вихідних трьох ділянок дорівнює: ( 100 м ) ² + ( 200 м ) ² + ( 300 м ) ² = 140 000 м ² . Правильна відповідь дає квадратична середня: Формула середньої квадратичної використовується для виміру ступеня коливання індивідуальних значень ознаки навколо середньої арифметичної в рядах розподілу. Так, при розрахунку показників варіації середню обчислюють з квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої арифметичної величини.

2.1.5 Середня кубічна величина

Якщо за умовами завдання необхідно зберегти незмінною суму кубів індивідуальних значень ознаки при їх заміні на середню величину, ми приходимо до середньої кубічної, яка має вигляд: , Для простої. , Для зваженої. Середня кубічна має обмежене застосування в практиці статистики. Нею користуються для обчислення середніх діаметрів труб, стволів і т.п., необхідних для різного роду розрахунків, як, наприклад, для визначення запасів деревини на складах і на лісових ділянках.

2.2 Структурні середні величини

Особливий вид середніх величин - структурні середні - застосовується для вивчення внутрішньої будови рядів розподілу значень ознаки, а також для оцінки середньої величини (степеневого типу), якщо за наявними статистичними даними її розрахунок не може бути виконаний (наприклад, якщо б у розглянутому прикладі відсутні дані і про обсяг виробництва, і про суму витрат по групах підприємств). В якості структурних середніх застосовують показники моди і медіани. Мода і медіана визначаються лише структурою розподілу. Тому їх називають структурними позиційними середніми. Медіану і моду часто використовують як середню характеристику в тих сукупностях, де розрахунок середньої ступеневій неможливий або недоцільний.

2.2.1 Медіана

Медіана (Ме) - величина варіює ознаки, що ділить сукупність на дві рівні частини - зі значеннями ознаки менше медіани і зі значеннями ознаки більше медіани. У ранжированном варіаційному ряду з непарним числом одиниць сукупності медіаною є значення ознаки у середньої в ряду одиниці. Медіана не залежить від значень ознаки, що стоять на краях варіаційного ряду. В інтервальному варіаційному ряду для знаходження медіани застосовується формула: , де X _Me - Нижня межа інтервалу, в якому знаходиться медіана; f _Me - Число спостережень (або обсяг вісового ознаки), накопичене до початку медіанного інтервалу; f _Me - число спостережень або обсяг вісового ознаки в медіанній інтервалі (у абсолютному або відносному виразі); i - величина медіанного інтервалу; - Половина від загального числа спостережень або половина обсягу того показника, який використовується в якості вісового у формулах розрахунку середньої величини (у абсолютному або відносному вираженні). Прикладом такого ряду може служити місячна заробітна плата робітників цеху. Таблиця 2.2.1

Порядковий номер робочого	1	2	3	4	5	6	7	разом
Місячна заробітна плата, руб. (X)	90	105	148	160	175	220	250	1148

У цьому ряду середнє місце за розміром заробітної плати займає робітник з номером 4, який отримав 160 грн. Ця величина і є медіана. Менше і більше медіани однакове число варіантів. При непарному числі варіантів (п) порядковий номер, якому відповідає медіана, визначається за формулою . Коли кількість варіантів у ряді парне число, медіаною вважають один з тих варіантів, який за своєю величиною міг би знаходитися посередині між варіантами з номером і . Так, якби в цеху був ще й восьмий робітник із заробітною платою в 276 грн., То медіана перебувала б посередині між четвертим і п'ятим порядковими номерами. У таких випадках прийнято вважати, що в проміжку між номерами і йде рівномірний наростання чи спадання варіантів. Тому за медіану беруть середню арифметичну з варіантів з номерами і . У даному прикладі

Сенс отриманого результату такий: одна половина робітників отримала за місяць менше, а інша - більше 167,5 грн. Отже, медіана - узагальнюючий показник розподілу сукупності, рівень ознаки, яка ділить сукупність на дві рівні частини, і являє зазвичай інтерес в аналізі, як це видно з наведеного прикладу. Медіана, на відміну від середньої, не є абстрактною величиною. Вона знаходиться точно в середині ряду, являє собою реальне значення ознаки, відповідає певному варіанту і при цьому найбільш точна у випадку непарного числа членів сукупності. Медіана як узагальнююча характеристика сукупності не може, однак, замінити середню. Медіана - це центр розподілу чисельності одиниць сукупності, а середня - центр розподілу відхилень значень ознаки від рівнодіючої. Величина медіани визначається лише одним або двома серединним значеннями ознаки. Зміни усіх інших величин, якщо вони не змінюють послідовності членів в центрі ряду, не знаходять відображення в медіані. Так, якщо місячну заробітну плату найменш оплачуваних двох робочих підняти на 40 грн., Це не позначиться на медіані, незважаючи на те, що тим самим значно підвищуються доходи двох робітників цеху і істотно вирівнюється заробітна плата членів колективу. Тому медіана, що представляє певний інтерес в аналізі, не може замінити середню, яка при заміні реального колективу абстрактним колективом з рівняння значення ознаки залишає незмінним визначальний показник сукупності. Медіаною доцільно користуватися, коли не відомі кордону відкритих крайніх інтервалів варіаційного ряду, на які припадає значна частина одиниць усієї сукупності, так як середня в цих випадках страждає значною неточністю. При обчисленні ж медіани відсутність відомостей про цих межах не впливає на точність розрахунку.