2.1.2 Середня гармонійна величина

Якщо за умовами завдання необхідно, щоб незмінною залишалася при осреднении сума величин, зворотних індивідуальним значенням ознаки, то середня величина є гармонійної середньої. Середня гармонійна величина, як і середня арифметична може бути простою і зваженою. Якщо ваги у кожного значення ознаки рівні, то можна використовувати середню гармонійну просту: . Однак у статистичній практиці частіше застосовується середня гармонійна зважена: , де m = xf, вона використовується, як правило, при розрахунку загальної середньої з середніх групових. Середня гармонійна має більш складну конструкцію, ніж середня арифметична. Середню гармонічну застосовують для розрахунків тоді, коли в якості ваг використовуються не одиниці сукупності - носії ознаки, а твори цих одиниць на значення ознаки (тобто m = Xf). До середньої гармонійної простої слід вдаватися у випадках визначення, наприклад, середніх витрат праці, часу, матеріалів на одиницю продукції, на одну деталь за двома (трьома, чотирма і т.д.) підприємствам, робочим, зайнятим виготовленням одного і того ж виду продукції , однієї і тієї ж деталі, вироби. Наведемо розрахунок середньої гармонійної величини - простий і зваженою. Приклад. Чотири швачки-надомниці зайняті пошиттям головних уборів однієї моделі. Перша швачка витрачає на виготовлення одного головного убору 30 хв, друга - 40 хв, третя - 50 хв, четверта - 60 хв. Визначимо середні витрати часу на пошиття одного головного убору за умови, що кожна швачка працює по 10 годин на день. Спроба вирішити завдання з допомогою середньої арифметичної простої

виявилася б успішною, якби кожна надомниць шила тільки по одному головного убору у день. У даному ж випадку середні витрати часу на пошиття одного головного убору можна підрахувати діленням загальних витрат часу на пошиття всіх головних уборів (600 + 600 + 600 + 600 = 2400 хв) на кількість зшитих головних уборів. Кількість головних уборів, зшитих кожної надомниць, так само: 1) 600/30 = 20 шт.; 2) 600/40 = 15 шт.; 3) 600/50 = 12 шт.; 4) 600/60 = 10 шт. Всього 57 виробів. Середні витрати часу обчислимо за формулою середньої гармонійної зваженої:

тобто на пошиття одного головного убору витрачається в середньому 42 хв. У якості ваги в цьому завданні був прийнятий показник загальних витрат часу на пошиття всіх головних уборів однієї швачкою. Так як в цьому прикладі загальні витрати часу у всіх надомниць однакові, то до аналогічного результату приводить і розрахунок по формулі середньої гармонійної простої:

2.1.3 Середня геометрична величина

Якщо при заміні індивідуальних величин ознаки на середню величину необхідно зберегти незмінним твір індивідуальних величин, то слід застосувати геометричну середню величину. Її формула така: -для простої. -для зваженої. Основне застосування геометрична середня знаходить при визначенні середніх темпів зростання. Нехай, наприклад, в результаті інфляції за перший рік ціна товару зросла в 2 рази до попереднього року, а за другий рік ще в 3 рази до рівня попереднього року. Ясно, що за два роки ціна зросла у 6 разів. Який середній темп зростання ціни за рік? Арифметична середня тут непридатна, бо якщо за рік ціни зросли б у рази, то за два роки ціна зросла б у 2,5 х 2,5 = 6,25 разу, а не в 6 разів. Геометрична середня дає правильну відповідь: √ 6 - 2,45 рази. Геометрична середня величина дає найбільш правильний з утримання результат осереднення, якщо завдання полягає в знаходженні такого значення ознаки, який якісно був би рівно віддалений як від максимального, так і від мінімального значення ознаки. Наприклад, якщо максимальний розмір виграшу в лотереї становить мільйон гривень, а мінімальний - сто гривень, то яку величину виграшу можна вважати середньою між мільйоном і сотнею? Арифметична середня явно непридатна, вона становить 500050 грн., А це, як і мільйон, великий, а ніяк не середній виграш; він якісно однорідний з максимальним і різко різниться від мінімального. Не дають вірної відповіді ні квадратична середня (707107 крб.), Ні кубічна (793 699 грн.), Ні гармонійна середня (199,98 грн.), Занадто близька до мінімального значення. Тільки геометрична середня дає вірний з точки зору економіки та логіки відповідь: Десять тисяч - не мільйон, і не сотня! Це, дійсно, щось середнє між ними. Найбільш часто формулу середньої геометричної використовують для визначення середніх валютних курсів, ефективності валютних курсів, реальної ефективності валютних курсів (міжнародна фінансова статистика).