2. Види середніх величин і сфера їх застосування

Види середніх величин розрізняються, перш за все, тим, яке властивість, який параметр вихідної варьирующей маси індивідуальних значень ознаки повинен бути збережений незмінним. У практиці статистичної обробки матеріалу виникають різні завдання, є особливості досліджуваних явищ, і тому для їх вирішення потрібні різні відомості. Середня, розрахована за сукупністю в цілому називається загальної середньої, середні, обчислені для кожної групи - груповими середніми. Загальна середня відображає загальні риси досліджуваного явища, групова середня дає характеристику розміру явища, що складається в конкретних умовах даної групи. Наприклад, статистичне вивчення народжуваності та середньої кількості дітей в родині на території колишнього СРСР проводилося в регіональному аспекті (по союзних республік). Традиційно більш висока народжуваність була в Середній Азії і Закавказзі в порівнянні з Центральними районами Росії. Середня кількість дітей у сім'ї, обчислена по кожному регіону - це групові середні, а відповідно обчислена по всій території СРСР - загальна середня. Порівняльний аналіз групових і загальних середніх використовується для характеристики соціально-економічних типів досліджуваного суспільного явища. Зокрема, при вивченні народжуваності велике значення має характеристика цього процесу з суспільних груп населення регіону. Групові середні використовуються для вивчення закономірності розвитку суспільних явищ. Так, в аналітичних угрупованнях аналіз групових середніх дозволяє зробити висновок про наявність і напрямку взаємозв'язку між групувати (факторингу) ознакою і результативному показником. Групові середні широко застосовуються також при визначенні наявних використаних резервів виробництва, коли на ряду з середніми величинами розглядаються та індивідуальні значення ознаки. Всі середні величини діляться на два великі класи:

• статечні середні; до них належать такі відомі і часто вживані види, як середня арифметична величина, середня квадратична та середня геометрична;

• структурні середні величини, у якості яких розглядаються мода і медіана.

Статечні середні величини обчислюються у двох формах - простий і зваженою. Проста середня величина вважається по несгруппірованним даними і має наступні загальний вигляд: ^, де X i - варіанта (значення) осередненою ознаки; m - показник ступеня середньої; n - число варіант (спостережень). Зважена середня величина вважається по згрупованим даними, представленим у вигляді дискретних або інтервальних рядів розподілу: , де X i - варіанта (значення) осередненою ознаки чи серединне значення інтервалу, в якому вимірюється варіанта; m - показник ступеня середньої; fi - частота, що показує, скільки разів зустрічається i-e значення осередненою ознаки. Наведемо як приклад розрахунок середнього віку студентів у групі з 20 чоловік. Таблиця 2.1

№ п / п	Вік (років)	№ п / п	Вік (років)	№ п / п	Вік (років)	№ п / п	Вік (років)
1	18	6	20	11	22	16	21
2	18	7	19	12	19	17	19
3	19	8	19	13	19	18	19
№ п / п	Вік (років)	№ п / п	Вік (років)	№ п / п	Вік (років)	№ п / п	Вік (років)
4	20	9	19	14	20	19	19
5	19	10	20	15	20	20	19

Середній вік розрахуємо за формулою простої середньої:

Згрупуємо вихідні дані. Отримаємо наступний ряд розподілу: Таблиця 2.2

Вік, X років	18	19	20	21	22	Всього
Кількість студентів	2	11	5	1	1	20

У результаті угруповання отримуємо новий показник - частоту, вказує число студентів у віці X років. Отже, середній вік студентів групи буде розраховуватися за формулою зваженої середньої:

Загальні формули розрахунку статечних середніх мають показник ступеня (m). У залежності від того, яке значення він приймає, розрізняють такі види статечних середніх: · Середня гармонійна, якщо m = - 1; · Середня геометрична, якщо m → 0; · Середня арифметична, якщо m = 1; · Середня квадратична, якщо m = 2; · Середня кубічна, якщо m = 3. Якщо розрахувати всі види середніх для одних і тих самих вихідних даних, то значення їх виявляться неоднаковими. Тут діє правило мажорантності: зі збільшенням показника ступеня т збільшується і відповідна середня величина: X _гарм ≤ X _геом ≤ X _арифм ≤ X _квадр ≤ X _куб. Користуючись цим правилом, статистика може залежно від настрою і бажання її "знавця" або "втопити", або "виручити" студента, який отримав на сесії оцінки 2 і 5. Який його середній бал? Якщо судити по середній арифметичній, то середній бал дорівнює 3,5. Але якщо декан бажає "втопити" нещасного і обчислить середню гармонійну , то студент залишається і в середньому двієчником, не дотягли до трійки. Проте студентський комітет може заперечити декана і представити середню кубічну величину: . Студент вже виглядає "хорошистом" і навіть претендує на стипендію! І тільки в тому випадку, якщо ледар провалив обидва іспиту, статистика допомогти не в змозі: на жаль, всі середні з двох двійок рівні все тієї ж двійці!

Формули статечних середніх величин наведені в табл. 2.3 У формулах середніх значень п - це кількість одиниць сукупності (кількість індивідуальних значень осередненою ознаки X); х - індивідуальне значення ознаки у кожної одиниці. Якщо сукупність об'єктів розподілена по групах різної чисельності, то x - це значення ознаки, загальне для всієї групи; f - Чисельність групи (частота повторення даного значення ознаки).

Формули середніх величин Таблиця 2.3

Вид ступеневій середньої	Показник ступеня (m)	Формули розрахунку середньої
		простий	зваженої
1	2	3	4
Гармонічна	-1		m = xf
Геометрична	→ 0
Арифметична	1
Квадратична	2
Кубічна	3

2.1 Степенні середні величини 2.1.1 Середня арифметична величина Середньої арифметичної величиною називається таке середнє значення ознаки, при обчисленні якого загальний обсяг ознаки в сукупності зберігається незмінним. Інакше можна сказати, що середня арифметична величина - середнє складова. При її обчисленні загальний обсяг ознаки подумки розподіляється порівну між усіма одиницями сукупності. Середня арифметична - найбільш поширений на практиці вид середніх. Розрізняють 2 види арифметичних середніх:

• Невиважену (просту);

• Виважену.

Середня арифметична невиважена розраховується для несгруппірованних даних за формулою:

. Для масових статистичних сукупностей розраховується зважена середня арифметична за формулою: . Якщо при угруповання значення осередненою ознаки задані інтервалами, то при розрахунку середньої арифметичної величини як значення ознаки в групах беруть середини цих інтервалів, тобто виходять з гіпотези про рівномірний розподіл одиниць сукупності по інтервалу значень ознаки. Для відкритих інтервалів в першій і останній групі, якщо такі є, значення ознаки треба визначити експертним шляхом виходячи із сутності, властивостей ознаки і сукупності. Наприклад, за табл.2.1.1 можна мінімальний вік робітників вважати 17 років. Тоді перший інтервал буде від 17 до 20 років, а максимальний вік - 65 років, тоді останній інтервал - 50-65 років. Розподіл робітників підприємства за віком Таблиця 2.1.1

Групи робітників за віком, років	Число робочих f j	Середина інтервалу x j	x j f j
До 20	48	18,5	888
20-30	120	25	3000
30-40	75	35	2625
40-50	62	45	2790
Старше50	54	57,5	3105
Разом	359	34,56	12408

Середній вік працівників, розрахований за формулою з заміною точних значень ознаки в групах серединами інтервалів, склав:

що і записано в підсумковий рядок по графі 3 табл.2.1.1.

Середня арифметична величина має ряд властивостей, що дозволяють прискорити розрахунок: 1. Твір середньої на суму частот завжди дорівнює сумі добутків варіант на частоти, тобто . Це властивість визначено вимогами правильного обчислення середньої, згідно з якими конкретні значення варьирующего ознаки зрівнюються без зміни загального обсягу його і замінюються одним середнім числом, яке як постійний множник виноситься з-під знака суми. Завдяки цій властивості середня може бути використана для різного роду планових і статистичних розрахунків як представник або замінник всіх значень варьирующего ознаки. Так, якщо середня витрата пального на 1 гектар оранки становить 20 літрів , А всього треба зорати 2 млн. га, то все буде потрібно 40 млн. літрів пального. Аналогічно, якщо достатньо репрезентативне вибіркове обстеження показало, що середньорічний надій молока на одну корову становить 2500 літрів , А всього в районі 15 тис. корів, то загальний надій складе 37,5 млн. літрів. 2. Сума відхилень варіантів як від простої, так і від зваженої середньої арифметичної дорівнює нулю: і Розглянуте властивість може бути використано для перевірки правильності обчислення середньої. Якщо при обчисленні середньої арифметичної і не дорівнюють нулю, це вказує, що середня неправильно обчислена. А так як в аналізі часто доводиться користуватися відхиленнями від середньої, їх зручно використовувати і для перевірки правильності обчислення середньої. 3. Сума квадратів відхилень варіантів як від простої, так і від виваженої середньої менше суми квадратів відхилень від будь-якої іншої довільної величини а, т. е. . Приклад: Таблиця 2.1.2

Табельний номер робочого	1	2	3	4	5	6
Годинна вироблення деталей (x)	12	10	6	10	12	10

У прикладі, заснованому на даних табл. 2.1.2, , А При а = 12 складе:

Таблиця 2.1.3

x i	- A
12	-12	0	0
10	-12	-2	4
6	-12	-6	36
10	-12	-2	4
12	-12	0	0
10	-12	-2	4
		Разом	48

Як бачимо, 24 <48. 4. Якщо всі частоти розділити (або помножити) на довільне число (а), то середня від цього не зміниться, так як Якщо розгрупувати робітників (табл.2.1.2) за кількістю вироблених за годину деталей, отримаємо такі дані (табл.2.1.4): Таблиця 2.1.4

Варіанти вироблення деталей за годину (x)	Число робочих з даною виробітку (f)	Обсяг варьирующего ознаки (xf)
6	1	6
10	3	30
12	2	24
Разом	6	60

Якщо застосувати отриману формулу, наприклад, наведеному в табл. 2.1.4, це означає, що якщо, наприклад, частоти зменшити в 6 разів, середня зважена арифметична не зміниться і дорівнюватиме: Середня не зміниться, якщо ми Зокрема виразимо у відсотках, тобто помножимо їх на 100: Аналізованих властивість показує, що за даних варіантах ознаки величина середньої залежить не від абсолютного розміру ваг, а від співвідношення між ними. У наведеному прикладі ми спочатку частоти зменшили у 6 разів, а потім збільшили в 100 разів, але середня виробіток не змінилася. 5. Якщо ваги всіх варіантів рівні між собою, то зважена середня дорівнює простий середньої, так як за цих умов Так як числення простої арифметичної середньої вимагає менше затрат праці, ніж зваженої, то при рівності ваг немає потреби користуватися останньою. 6. Середня алгебраїчної суми дорівнює алгебраїчній сумі середніх. Так, якщо у, х і z - Позитивні варьирующие величини і у _i = X _i + z _i, то 7. . Отже, . Це властивість середньої показує, в яких випадках можна безпосередньо підсумувати середні. Наприклад, коли виріб складається з двох деталей, виготовлених різними робітниками, і при цьому один з них витрачає в середньому на одну деталь 20, а на іншу 30 хвилин, то в середньому на один виріб витрачається 20 + 30 = 50 хвилин. Аналогічно вирішувалося б питання, якби виріб складалося з трьох і більше деталей.