Зміст Введення...................................................................................................................2 1. Сутність середніх величин, загальні принципи застосування........................4 2. Види середніх величин і сфера їх застосування...............................................7 2.1 Степенні середні величини 2.1.1 Середня арифметична величина.................................................................12 2.1.2 Середня гармонійна величина.....................................................................17 2.1.3 Середня геометрична величина...................................................................18 2.1.4 Середня квадратична величина...................................................................19 2.1.5 Середня кубічна величина...........................................................................20

2.2. Структурні середні величини........................................................................21 2.2.1 Медіана..........................................................................................................21 2.2.2 Мода...............................................................................................................24 3. Основні методологічні вимоги правильного розрахунку середніх величин .................................................................................................................................26 Висновок.................................................................................................................28 Список використаної літератури..........................................................................30

Введення

Історія практичного застосування середніх налічує десятки століть. Основна мета розрахунку середньої була у вивченні пропорцій між величинами. Значимість розрахунків середніх величин зросла у зв'язку з розвитком теорії ймовірностей і математичної статистики. Вирішення багатьох теоретичних і практичних завдань було б неможливе без розрахунків середньої та оцінки колеблемости індивідуальних значень ознаки. Вчені різних напрямів прагнули дати визначення середньої. Наприклад, видатний французький математик О. Л. Коші (1789 - 1857) вважав, що середньої кількох величин є нова величина, яка полягає між найменшою і найбільшою з величин, що розглядаються. Однак творцем теорії середніх слід вважати бельгійського статистика А. Кетле (1796 - 1874). Їм зроблено спробу визначити природу середніх величин і закономірностей, в них виявляються. Згідно Кетле, постійні причини діють однаково (постійно) на кожне досліджуване явище. Саме вони роблять ці явища схожими один на одного, створюють спільне для всіх їх закономірності. Наслідком вчення А. Кетле про загальні та індивідуальних причини стало виділення середніх величин як основного прийому статистичного аналізу. Він підкреслював, що статистичні середні представляють собою не просто міру математичного вимірювання, а категорію об'єктивної дійсності. Типову, реально існуючу середню він ототожнював з істинною величиною, відхилення від якої можуть бути тільки випадковими. Яскравим вираженням викладеного погляду на середню є його теорія «середньої людини», тобто людини середнього зросту, ваги, сили, середнього обсягу грудної клітини, ємності легень, середньої гостроти зору і звичайним кольором обличчя. Середні характеризують «істинний» тип людини, всі відхилення від цього типу свідчить про потворність або хвороба. Погляди А. Кетле отримали подальший розвиток у роботах німецького статистика В. Лексис (1837 - 1914). Інший різновид ідеалістичної теорії середніх заснована на філософії махізму. Її засновник англійський статистик А. Боулі (1869 - 1957). У середніх він бачив спосіб найбільш простого опису кількісних характеристик явища. Визначаючи значення середніх або, як він висловлюється, «їх функцію», Боулі на перший план висуває махістскій принцип мислень. Так, він писав, що функція середніх зрозуміла: вона полягає в тому, щоб виражати складну групу за допомогою небагатьох простих чисел. Розум не в змозі відразу охопити величини мільйонів статистичних даних, вони повинні бути згруповані, спрощені, приведені до середнім. Послідовником А. Кетле був і італійський статистик К. Джині (1884-1965), автор великої монографії «Середні величини». К. Джині піддав критиці визначення середньої, дане радянським статистиком А.Я. Боярським, і сформулював своє: «Середня кількох величин є результатом дій, які виконуються за певним правилом над даними величинами, і являє собою або одну з даних величин, яка не більше і не менше за всіх інших (середня дійсна чи ефективна), або яку-небудь нову величину, проміжну між найменшою і найбільшою з даних величин (лічильна середня) ». У цій роботі ми детально розглянемо основні проблеми теорії середніх величин. У першому розділі виявимо сутність середніх величин і загальні принципи застосування. У другому розділі розглянемо види середніх величин і сферу їх застосування на конкретних прикладах. У третьому розділі будуть розглянуті основні методологічні вимоги розрахунку середніх величин.

1. Сутність середніх величин, загальні принципи застосування

Середні величини є одними з найбільш поширених узагальнюючих статистичних показників. Вони мають за мету одним числом охарактеризувати статистичну сукупність складається з меншості одиниць. Середні величини тісно пов'язані з законом великих чисел. Сутність цієї залежності полягає в тому, що при великій кількості спостережень випадкові відхилення від загальної статистики взаимопогашающиеся і в середньому більш чітко проявляється статистична закономірність. Середня величина - це узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень явища в конкретних умовах місця і часу. Він висловлює рівень ознаки, типовий для кожної одиниці сукупності. Середня є об'єктивною характеристикою лише для однорідних явищ. Середні для неоднорідних сукупностей називаються огульними і можуть застосовуватися тільки у поєднанні з приватними середніми однорідних сукупностей. Середня застосовується у статистичних дослідженнях для оцінки сформованого рівня явища, для порівняння між собою кількох сукупностей по одному і тому ж ознакою, для дослідження динаміки розвитку досліджуваного явища в часі, для вивчення взаємозв'язків явищ. Середні широко застосовуються в різних планових, прогнозних, фінансових розрахунках. Головне значення середніх величин полягає в їх узагальнюючої функції, тобто заміні безлічі різних індивідуальних значень ознаки середньою величиною, що характеризує всю сукупність явищ. Усім відомі особливості розвитку сучасних людей, які проявляються в тому числі і в більш високому зростанні синів в порівнянні з батьками, дочок у порівнянні з матерями в тому ж віці. Але як виміряти це явище? У різних сім'ях спостерігаються різні співвідношення зростання старшого і молодшого покоління. Далеко не кожен син вище батька і не кожна дочка вище матері. Але якщо виміряти середній ріст багатьох тисяч осіб, то за середнім зростанню синів і батьків, дочок і матерів можна точно встановити й сам факт акселерації, і типову середню величину збільшення зростання за одне покоління. На виробництво одного й того ж кількості товару певного виду і якості різні виробники (заводи, фірми) витрачають неоднакова кількість праці та матеріальних ресурсів. Але ринок осередненою ці витрати, і вартість товару визначається середньою витратою ресурсів на виробництво. Погода в певному пункті земної кулі в один і той же день в різні роки може бути дуже різною. Наприклад, в Санкт-Петербурзі 31 березня температура повітря за сто з гаком років спостережень коливалася від -20,1 ° у 1883 р . до +12,24 ° в 1920 р . Приблизно такі ж коливання і в інші дні року. За такими індивідуальними даними про погоду в якийсь довільно взятий рік не можна скласти уявлення про клімат Санкт-Петербурга. Характеристики клімату - це середні за тривалий період характеристики погоди - температури повітря, його вологість, швидкість вітру, сума опадів, кількість годин сонячного сяйва за тиждень, місяць і весь рік і т.д. Якщо середня величина узагальнює якісно однорідні значення ознаки, то вона є типової характеристикою ознаки в даній сукупності. Так, можна говорити про вимір типового зростання російських дівчат народження 1973 р . по досягненні ними 20-річного віку. Типовою характеристикою буде середня величина надою молока від корів чорно-рябої породи на першому році лактації при нормі годівлі 12,5 кормової одиниці на добу. Проте неправильно зводити роль середніх величин лише характеристиці типових значень ознак в однорідних за цією ознакою сукупностях. На практиці значно частіше сучасна статистика використовує середні величини, узагальнюючі явно неоднорідні явища, як, наприклад, врожайність всіх зернових культур по території всієї Росії. Або розглянемо таку середню, як середнє споживання м'яса на душу населення: адже серед цього населення і діти до одного року, зовсім не споживають м'яса, і вегетаріанці, і сіверяни, і жителі півдня, шахтарі, спортсмени та пенсіонери. Ще більш ясна нетиповість такого середнього показника, як вироблений національний дохід в середньому на душу населення. Середня величина національного доходу на душу, середня врожайність зернових по всій країні, середнє споживання різних продуктів харчування - це характеристики держави, як єдиної народногосподарської системи, це так звані системні середні. Системні середні можуть характеризувати як просторові або об'єктні системи, існуючі одномоментно (держава, галузь, регіон, планета Земля і т.п.), так і динамічні системи, протяжні в часі (рік, десятиліття, сезон і т.п.). Прикладом системної середньої, що характеризує період часу, може служити середня температура повітря в Санкт-Петербурзі за 1992 р ., Що дорівнює +6,3 °. Ця середня узагальнює вкрай різнорідні температури зимових морозних днів і ночей, літніх спекотних днів, весни і осені. 1992 р . був найтеплішим роком, його середня температура не є типовою для Санкт-Петербурга. В якості типової середньорічної температури повітря в місті слід використовувати багаторічну середню, скажімо, за 30 років з 1963 по 1992 р ., Яка дорівнює +5,05 °. Ця середня є типової середньої, так як узагальнює однорідні величини; середні річні температури одного і того ж географічного пункту, варіюють за 30 років від +2,90 ° в 1976 р . до +7,44 ° в 1989 р . Отже, типова середня може узагальнювати системні середні для однорідної сукупності, або системна середня може узагальнювати типові середні для єдиної, хоча і неоднорідної системи. Так, багаторічна середня температура в Санкт-Петербурзі в перші десятиліття і століття існування міста була значно нижче; вона зростає повільно, але з прискоренням за останнє сторіччя внаслідок як зростання самого міста і енергоспоживання в ньому, що підвищує температуру повітря, так і розпочатого і прискореного загального потепління на Землі. Тому "типовість" будь-якої середньої величини - поняття відносне, обмежене як у просторі, так і в часі. Загальні принципи застосування середніх величин:

• необхідний обгрунтований вибір одиниці сукупності, для якої розраховується середнє значення;

• при розрахунку середньої величини в кожному конкретному випадку потрібно виходити з якісного змісту осередненою ознаки, враховувати взаємозв'язок досліджуваних ознак, а також наявні для розрахунку дані;

• середні величини повинні розраховуватися, перш за все, за однорідними совокупностям. Якісно однорідні сукупності дозволяють отримати метод угруповань, який передбачає розрахунок не тільки середнього значення, а й системи узагальнюючих показників;

• загальні середні (середні для всієї сукупності) повинні підкріплюватися груповими середніми. Наприклад, аналіз динаміки врожайності окремої сільськогосподарської культури показує загальне по республіці зниження врожайності. Однак відомо, що врожайність цієї культури залежить від грунтових, кліматичних, територіальних, економічних та інших умов конкретного сільськогосподарського року і різна в окремих регіонах. Згрупувавши регіони за рівнем врожайності кожного року і проаналізувавши динаміку групових середніх, можна виявити, що в окремих групах регіонів середня врожайність або не змінилася, або навіть зросла, але одночасно зросли питома вага або кількість районів з більш низькою врожайністю цієї сільськогосподарської культури. Очевидно, що аналіз чинників динаміки середніх групових дозволяє більш повно відобразити закономірності зміни урожайності в порівнянні з динамікою загальної середньої результату.