1. Статична сторона задачі. Рівняння рівноваги

Розглянемо нескінченно малий елемент стержня.

Рис. 3.1

Інтегральні характеристики

, , .

Приріст кожного із зусиль визначається так:

.

Отримаємо рівняння рівноваги у вигляді :

1. 

2. 

3. 

2. Геометрична сторона задачі. Зв'язок між деформаціями і переміщеннями

Рис. 3.2

Деформація - кривизна

береться «мінус»

.

Приклад

Рис. 3.3

Насправді, при так званих “великих переміщеннях (див. рис. 3.3) мають місце не тільки вертикальні, а і горизонтальні переміщення точок стержня. Але в елементарній лінійній теорії згину вважається, що і цей ефект не враховується.

3. Фізична сторона задачі. Закон Гука

, ,

де G – модуль зсуву, Е – модуль пружності (модуль Юнга).

(наприклад, для металу Е=2 10⁵ Мпа),

де µ - коефіцієнт Пуассона (залежність між поперечними і повздовжніми деформаціями), µ=0…0,5.

Найпростіший напружений стан – розтяг-стиснення (див. рис. 3.4)

Рис. 3.4

закон Гука*

Розрахував коефіцієнт k Томас Юнг в 1807 р.

.

Кулон у 1784 році отримав при скрученні стержня залежність

.

А.Навьє в 1826 році ввів поняття напруження і отримав

,

тобто через 150 років після оприлюднення закону Гука.

Далі Коші ввів поняття про головні напруження

,

а Пуассон ввів коефіцієнт .

Тобто, до фундаментальних понять про напруження і деформації людство йшло майже два століття, хоч впритул до цього наблизився Юнг і навіть близько був ще Галілей.

,

,

.

* Цікавою є історія становлення закону Гука. Знаний англійський учений Роберт Гук в 1660 р. сформулював, а в 1676 р. оприлюднив, і то у вигляді анаграми, таке: «яка деформація, таке і навантаження» (навіть не навпаки). Майже одночсасно з Гуком (1680 р.) і незалежно від нього цей закон сформулював француз Маріотт: «навіть найбільш тверді тіла – скло і залізо – деформуються пропорційно навантаженню». Тобто, , де P – навантаження, f – деформація стержня, k – коефіцієнт пропорційності. Розшифрування коефіцієнта k стало можливим через 130 років, коли англієць Томас Юнг у 1807 р. ввів поняття про модуль пружності Е, названий його ім’ям. Тепер можна було записати , де l – довжина стержня, F – площа поперечного перерізу, Е – модуль Юнга, Р – навантаження (сила). Юнг же і визначив значення Е для сталей, як 2·10⁵ МПа. У 1784 р. французький фізик Кулон сформулював закон Гука при скрученні стержня . У 1826 р. французький інженер (потім академік) А.Нав’є видав перший підручник з опору матеріалів, в якому ввів поняття про напруження (як силу, що діє на одиницю площі перерізу) і записав (через 150 років після оприлюднення закону Гука), а також отримав відому формулу для нормальних напружень при згині стержня . Згодом Нав’є ввів поняття про допустимі напруження, умову міцності, О.Коші – поняття про головні напруження і головні деформації, Пуассон ввів свій «коефіцієнт Пуассона». Таким чином, загальними зусиллями в основному цих трьох видатних французів закон Гука постав у закінченому вигляді «узагальненого закону Гука». Тобто, до фундаментальних понять про напруження і деформації людство йшло майже два століття, хоч до них впритул наблизився Юнг і, навіть, близько був ще Галілей (1564-1642).

Деформація .

Постановка крайової задачі механіки стержнів у зусиллях і переміщеннях.

Розглянемо балку.

- рівняння сумісності деформацій, . - рівняння рівноваги.

(*)

Граничні умови

Рис. 3.5

Будемо умовно вважати, що індексами «1» позначені точки, у яких задані силові характеристики ,

а індексами «2», відповідно, точки, у я ких задані кінематичні характеристики

.

Рівняння (_*) можна звести до одного рівняння і отримати постановку крайової задачі механіки стержнів у переміщеннях

.

При цьому

, .

Тоді граничні умови

, , .

Лекція 4

Робота внутрішніх сил. Потенціальна енергія пружної деформації. Додаткова потенціальна енергія. Теореми Дж. Гріна і Кастільяно

Потенціальна енергія пружної деформації ототожнюється з роботою внутрішніх сил і за законом збереження енергії - відповідно з роботою зовнішніх сил.

Розглянемо нескінченно малий елемент, який знаходиться в умовах одновісного напружено-деформованого стану.

Рис. 4.1

Деформація змінюється . У загальному випадку , . Робота внутрішніх сил .

Для одновимірної задачі надалі позначимо

.

Повна потенціальна енергія тіла дорівнює:

.

– питома (на одиницю об’єму) потенціальна енергія пружної деформації.

Рис. 4.2

– питома потенціальна енергія пружної деформації. Додаткова питома потенціальна енергія (термін «додаткова» пов’язується з доповненням до прямокутника) .

.

Цей вираз має назву перетворення Лежандра.

Функції, які пов’язані між собою перетворенням Лежандра, називаються двоїстими за Юнгом.

Похідні від цих функцій дорівнюють відповідно:

.	.
У випадку закону Гука відповідно:
.	.
. Перші похідні:
.	.
Ці формули мають назву:
Формула Дж. Гріна	Формула Кастільяно
Другі похідні визначають відповідно коефіцієнти жорсткості і піддатливості:
.	.

Зазначимо, що у загальному випадку просторової задачі теорії пружності будемо мати такі залежності:

,

,

,

, ,

,

,

де - матриця жорсткості, - матриця піддатливості.

,

де - одинична матриця.

Формули Дж. Гріна		Формули Кастільяно

Потенціальна енергія згину балки з урахуванням наведених вище залежностей:

,

де, відповідно

, , .

Таким чином, потенціальна енергія:

Ураховуючи, що отримаємо

– потенціальна енергія пружної деформації при згині балки	– додаткова потенціальна енергія при згині балки

Питома (на одиницю довжини) потенціальна енергія пружної деформації при згині балки		Питома (на одиницю довжини) додаткова потенціальна енергія пружної деформації при згині балки
(рис. 4.3)
Рис. 4.3 Приклад
Рис. 4.4	, , де - коефіцієнт жорсткості, - коефіцієнт піддатливості. Матриця Гессе (матриця других похідних).

Зауваження. Зазначимо, що вираз перетворення Лежандра можна отримати, якщо розглядати диференціал потенціальної енергії , який залежить від двох змінних - і .

Потенціальна енергія

Ураховуючи, що

отримаємо

або, при і ,

.

Лекція 5

Робота зовнішніх сил. Теорема Клапейрона. Принципи Лагранжа і Кастільяно.

Рис. 5.1

Робота зовнішніх сил з урахуванням рівняння рівноваги дорівнює

Перетворимо інтеграл у правій частині за допомогою формули інтегрування по частинах

,

,

, ,

Тоді основна інтегральна формула (формула Гріна) має вигляд:

Звідси

Рис. 5.2

,

Для лінійної пружної системи (рис. 5.2)

.

З урахуванням прийнятих позначень граничних умов

, .

Остаточно отримаємо

(♦)

за умов:

,

Вираз (♦) являє собою відому теорему Клапейрона: для дійсного стану лінійно пружної системи, у якому задовольняються рівняння рівноваги, сумісності деформацій, фізичної сторони задачі та граничні умови, подвійна потенціальна енергія пружної деформації доравнює роботі зовнішніх сил.

Ураховуючи, що робота внутрішніх сил ототожнюється з потенціальною енергією пружної деформації і за законом збереження енергії дорівнює роботі зовнішніх сил згідно з теоремою Клапейрона: при статичному навантаженні лінійно-пружної системи, яка знаходиться у дійсному стані, робота зовнішніх сил обчислюється як половина добутку остаточного значення узагальненої силина остаточне значення відповідного узагальненого переміщення. Якщо зовнішнє навантаження є кінематичним, тобто задається за допомогою узагальнених переміщень, то робота внутрішніх сил ототожнюється із додатковою потенціальною енергією, яка для лінійно-пружної системи дорівнює потенціальній енергії пружної деформації.

Рис. 5.3

Принципи Лагранжа і Кастільяно

Основна інтегральна формула (формула Гріна)

дозволяє переносити диференціальний оператор з однієї функції на іншу.

Витікає залежність, яка по суті являє собою рівність робіт внутрішніх і зовнішніх сил

або

Рис. 5.4

. (♦♦)

Оскільки (див. рис. 5.4)

і, відповідно,

.

Для лінійних задач .

Тоді отримаємо формулу Клапейрона

, (♦♦♦)

де робота зовнішніх сил на границях записана з урахуванням граничних умов

і .

Оскільки при отриманні залежностей (♦♦), (♦♦♦) використані умови рівноваги , сумісності деформацій , фізичної сторони задачі , а також наведені вище граничні умови, можна стверджувати, що функції і , які входять до них, є дійсними.

Тепер у залежності

,

де, відповідно, підкреслені члени, які залежать від і , будемо варіювати

(ліворуч)	(праворуч)
Урахуємо, що	Урахуємо, що
а підстановка першого члену дає тотожність. Остаточно отримаємо таке варіаційне рівняння	а підстановка першого члену дає тотожність. Остаточно отримаємо таке варіаційне рівняння
Воно має назву варіаційного рівняння Лагранжа	Воно має назву варіаційного рівняння Кастільяно
Відповідний функціонал має назву функціонала Лагранжа (залежить від функції )	Відповідний функціонал має назву функціонала Кастільяно1 (залежить від функції )
	.

Наведені варіаційні рівняння за змістом відображають принцип Лагранжа і принцип Кастільяно. Тобто всі і є дійсними, оскільки вони задовольняють рівнянням рівноваги, сумісності деформацій, граничним умовам.

Причому маємо такі додаткові умови. Граничні умови: .	Причому маємо такі додаткові умови. Граничні умови:
Рівняння сумісності деформацій: , а також .	Рівняння рівноваги: , а також .
Принцип Лагранжа	Принцип Кастільяно
З усіх можливих систем переміщень дійсні переміщення надають функціоналу Лагранжа стаціонарне (мінімальне) значення.	З усіх можливих систем зусиль дійсні зусилля М надають функ-ціоналу Кастільяно стаціонарне (максимальне) значення.
Під можливими переміщеннями розуміють переміщення, які задовольняють умовам в’язей	Під можливими зусиллями розуміють зусилля, які задоволь-няють рівнянням статики і статич- ним граничним умовам
(кінематичним граничним умовам), а також умовам сумісності деформацій ,	,

Оскільки функціонал Лагранжа залежить від другої похідної, маємо

У нашому випадку

Тоді варіаційне рівняння для функціонала Лагранжа має вигляд

У загальному випадку при отримаємо

Лекція 6

Варіаційні рівняння для функціоналів Лагранжа і Кастільяно

Розглянемо першу варіацію функціонала Кастільяно, який запишемо з урахуванням залежності

.

Будемо вважати для спрощення

Тоді

.

Варіаційне рівняння для функціонала Кастільяно

у випадку коли

.

У загальному випадку

- змінюються переміщення - (принцип Лагранжа),

- змінюються зусилля - (принцип Кастільяно).

Зазначимо, що наведені варіаційні рівняння Лагранжа і Кастільяно можуть бути отримані і безпосередньо із залежностей (____) підстановкою відповідно і .

Наприклад, підставляючи , отримаємо вираз, який залежить від першої варіації

.

Перший інтеграл за формулою Гріна дорівнює

.

Ураховуючи, що і , остаточно одержимо

що являє собою _____.

Аналогічно, підставляючи , отримаємо вираз, який залежить від першої варіації

.

Перший інтеграл

.

Другий інтеграл за формулою Гріна дорівнює

.

і остаточно одержимо

,

,

що являє собою розгорнутий вигляд варіаційного рівняння Кастільяно .

Розглянемо варіаційні рівняння Лагранжа і Кастільяно при однорідних граничних умовах

Для різних граничних умов отримаємо (див. табл.)

Таблиця

Задані зовні гран. умови w, w’	wa=0 wb=0 w’a=0 w’b=0	wa=0 wb=0 w’a=0 -----	wa=0 ----- w’a=0 -----	wa=0 wb=0 ----- -----	Природ. граничні умови	Лаграрж
Природ. граничні умови	----- ----- ----- -----	----- ----- ----- Mb=0	----- M’b=0 ----- Mb=0	----- ----- Ma=0 Mb=0	Задані зовні гран. умови w, w’	Кастільяно

Таким чином, реалізація принципу Лагранжа дозволяє автоматично отримати рівняння рівноваги, як рівняння Ейлера відповідної варіаційної задачі , а також граничні умови, яких не вистачало, у вигляді так званих природних граничних умов. У таблиці це показано для балок з різними однорідними граничними умовами .	Таким чином, реалізація принципу Кастільяно дозволяє автоматично отримати рівняння сумісності деформацій, як рівняння Ейлера відповідної варіаційної задачі , а також граничні умови, яких не вистачало, у вигляді так званих природних граничних умов (див. таблицю, при ).
Варіаційне рівняння Лагранжа являє собою широко відомий принцип можливих переміщень, а саме: якщо сума робіт усіх зусиль на будь-яких можливих. переміщеннях дорівнює 0, то система знаходиться в рівновазі.	Варіаційне рівняння Кастільяно являє собою широко відомий принцип можливих зусиль, а саме: якщо сума робіт усіх зусиль при будь-яких змінах напруженого стану дорівнює 0, то виконуються умови сумісності деформацій.

Рис. 6.1

Лекція 7

Перетворення Лежандра. Нерівність Юнга. Двоїсті за Юнгом функції. Теорема Донкіна. Теореми Лагранжа і Кастільяно

Перетворення Лежандра – допоміжний математичний прийом, який полягає у переході від функцій на лінійному просторі до функцій на спряженому просторі. Воно аналогічно проективній подвійності і тангенціальним координатам у алгебраїчній геометрії або побудові спряженого банахова простору в математичному аналізі.

Нехай опукла, .

Перетворення Лежандра функції називається нова функція нового змінного, яка будується наступним чином:

Рис. 7.1

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Дві функції , які являють собою перетворення Лежандра одна до одної, називаються двоїстими за Юнгом. За визначенням перетворення Лежандра , звідки витікає нерівність Юнга

.

Теорема. Перетворення Лежандра інволютивне, тобто його квадрат дорівнює тотожному перетворенню: якщо при перетворенні Лежандра переходить в , то перетворення Лежандра від буде знову .

Доведення. Щоб здійснити перетворення Лежандра функції змінного , ми повинні, за визначенням, розглянути нове незалежне змінне (позначимо його через , скласти функцію

,

знайти точку , в якій має максимум:

, тобто ,

і тоді перетворення Лежандра буде функція від , яка дорівнює

Д

Рис.7.2. Інволютивність

перетворення Лежандра

оведемо, що З цього приводу відмітимо, що має просте геометричне розуміння: це координата дотичної до графіка , що має нахил , при абсцисі (див. рис. нижче). Дійсно, при фіксованому функція є лінійна функція від , при цьому , і при маємо для визначення .

Зафіксуємо тепер і будемо змінювати . Тоді значення будуть ординатами точок перетину прямої з дотичними до графіка , що мають різний нахил . Із опуклості графіка витікає, що всі ці дотичні лежать нижче кривої, а тому максимум при фіксованому дорівнює (і досягається при ), щ.м.б.д.

Слідство. Нехай дано сімейство прямих . Тоді обгинаючи має рівняння , де - перетворення Лежандра функції .

П

Рис. 7.3

риклад 1

, , , ,

, .

Стосовно цього прикладу зазначимо, що рівність можлива лише за умови . По усіх інших значеннях і має місце нерівність Юнга . В цьому легко пересвідчитись з рисунка. Площа трикутників

і має min при . В усіх інших випадках , що очевидно також, якщо записати вираз , який завжди більше або дорівнює нулеві. Причому нулю він дорівнює при .

Функції і , які пов’язані між собою перетворенням Лежандра є двоїстими за Юнгом.

Т

Рис. 7.4. Перетворення Лежандра квадратичної форми

еорема. Значення квадратичної форми і її перетворення Лежандра в відповідних точках співпадають: = .

Приклад 2

Для форми це відома властивість дотичної до параболи. Для форми маємо і .

Доведення. З теореми Ейлера про однорідні функції

.

Отже, , щ.м.б.д.

Випадок багатьох змінних. Нехай тепер опукла функція векторного змінного (тобто квадратична форма позитивно визначена). Тоді перетворення Лежандра називається функція векторного змінного , що визначена аналогічними попередніми рівностями

,

.

Усі попередні міркування, в тому числі нерівність Юнга, без змін переносяться на цей випадок.

Отже, функції і , які пов’язані між собою перетворенням Лежандра є двоїстими за Юнгом.

Аналогічні висновки можна зробити і при нелінійній залежності .

Рис. 7.5 Рис. 7.6

, де – двоїсті за Юнгом функції.

П

Рис. 7.7

риклад 3

Робота зовнішніх сил

При цьому

Основна інтегральна формула (формула Гріна):

Тоді отримаємо

відомий вираз для теореми Клапейрона.

При (див. рис.)

При

Функції потенціальної енергії пружної деформації і додаткової енергії є двоїстими за Юнгом і пов’язані між собою перетворенням Лежандра. Умови екстремуму дають відповідно теореми:

Теорема Лагранжа	Теорема Кастільяно
Перша похідна від потенціальної енергії пружної деформації по узагальненому переміщення дорівнює відповідній узагальненій силі:	Перша похідна від додаткової потенціальної енергії по узагальненій силі дорівнює відповідному узагальненому переміщенню:

Другі похідні від потенціальної енергії пружної деформації по переміщенню і від додаткової потенціальної енергії по відповідній дорівнюють відповідно коефіцієнтам матриці жорсткості та матриці піддатливості.

Теорема Донкіна

Нехай задана деяка функція , гесіан якої відмінний від нуля:

(1)

і нехай існує перетворення змінних, викликане функцією :

. (2)

Тоді існує перетворення, зворотне до перетворення (2), яке теж породжено деякою функцією :

(3)

при цьому функція Y, що породжує функцію зворотного перетворення, пов’язана з функцією Х, що породжує пряме перетворення, формулою:

. (4)

Якщо функція включає параметри , тобто то Y теж включає ці параметри, тобто і

. (5)

Доведення. Гесіан функції X співпадає з якобіаном правих частин у рівнянні (2) . Тому умова (1) показує, що з рівняння (2) показати змінні через :

.

Нехай функція виражена формулою (4), в якій змінні замінені виразами (15). Тоді

.

Але згідно рівняння (2), два доданки, які знаходяться в правій частині цього рівняння, взаємознищуються і отже має місце формула (3).

Нехай тепер X включає окрім змінних ще і параметри . Тоді ці параметри є в прямому перетворенні(2) , а значить і в зворотному:

.

Функція Y визначається рівністю (13), де замінені на , тому

.

Теорема Донкіна доведена.

Приклад 4

Центральний розтяг стержня силою Р.

Рис. 7.8

При деформації і, відповідно, ,

можна отримати рівняння рівноваги і сумісності деформацій .

Теорема Донкіна

Якщо дві двоїстості за Юнгом функції напружень і залежать від одного і того ж параметра або групи параметрів, який не є активними, тобто не приймають участі у перетворенні Лежандра ( ), то має місце залежність:

У загальному випадку теореми Лагранжа і Кастільяно дають:

В будівельній механіці функції потенціальної енергії пружної деформації і додатковою потенціальної енергії є позитивно визначеними квадратичними формами. Вони є двоїстими за Юнгом функціями і пов’язані між собою перетворенням Лежандра. Перетворення Лежандра є частинним випадком нерівності Юнга-Фенхеля і за фізичним змістом являє собою рівність робіт внутрішніх і зовнішніх сил, тобто відповідає теоремі Клапейрона. Екстремуми двоїстих функцій пружної деформації і додаткової енергії дають теореми Лагранжа і Кастільяно, та призводять до систем лінійних алгебраїчних рівнянь матриці яких (матриці жорсткості і матриці піддатливості) є відповідно матрицями Гессе або матрицями других похідних відповідно від потенціальної енергії пружної деформації (матриця жорсткості) і додаткової потенціальної енергії (матриця піддатливості). Вони (матриці) є позитивно визначеними і задовольняють критеріям Сильвестра, тобто усі їх головні мінори є позитивно визначені. Вони є взаємно оберненими.

Лекція 8

Приклади реалізації принципів Лагранжа і Кастільяно

Розвяжемо задачу показану на рис. 8.1.

1. Функціонал Лагранжа.

,

.

Г

Рис. 8.1

раничні умови задаються тільки для , оскільки розглядається функціонал Лагранжа.

Приймемо, що

,

де - невідомі константи.

Реалізуючи граничні умови, отримаємо:

1. ;

2. , .

Таким чином

; ; ,

а

, .

Функціонал, а після інтегрування – функція Лагранжа, має вигляд:

.

Знаходимо мінімум екстремум функції

Рис. 8.2

,

, ,

,

.

2. Функціонал Кастільяно

Розглянемо розв’язок цієї ж самої задачі за допомогою функціонала Кастільяно, який для даного випадку має вигляд

Рис. 8.3

.

Додаткові умови:

• рівняння рівноваги

.

• граничні умови

.

Користуючись правилом множників Лагранжа, послідовно отримаємо:

,

; ;

; .

З

Рис. 8.4

азначимо, що за фізичним змістом невідомий множник Лагранжа являє собою кут повороту кінця балки.

,

, ,

,

.

3. Функціонал Кастільяно

.

Додаткові умови

.

Д

Рис. 8.5

ля даної задачі (рис. 8.5)

.

Розшукуємо у вигляді ряду

,

або (див. рис. 8.5)

,

де невідомою є .

Перевіримо виконання додаткових умов

і підставимо до вихідного функціоналу

.

Знайдемо екстремум

.

Таким чином ми отримали відповідне рівняння методу сил

,

Приклади реалізації принципів Лагранжа і Кастільяно.

Розглянемо розв'язання задачі згину балки (рис. 8.6), яка має кінематичне навантаження у вигляді просідання правої опори на величину , користуючись принципами

Лагранжа	Принцип Кастільяно
Рис. 8.6
Функціонал Лагранжа для даної задачі має вигляд:	Функціонал Кастільяно для даної задачі має вигляд:
Додаткові умови	Додаткові умови , або
Задаємо функцію прогину у вигляді ряду: Тоді	Задаємо функцію у вигляді ряду: який задовольняє статичним граничним умовам і умові рівноваги
Реалізація граничних умов дає: , , , , , Звідси і
Тоді	Тоді
Принцип Лагранжа	Принцип Кастільяно
Інтегруючи і розв’язуючи відповідне рівняння, отримаємо Тоді	Ураховуючи, що Рівняння методу сил має вигляд
Екстремальне значення функціо-нала Лагранжа дорівнює а залежність від показана на рис. 8.7, а.	Екстремальне значення функціо-нала Кастільяно дорівнює Оскільки Це є максимум, а залежність від x показана на рис. 8.7, б.
а	б
Рис. 8.7

Таким чином екстремальні значення функціоналів Лагранжа і Кастільяно співпадають.

Функціонал Лагранжа інколи називається повною потенціальною енергією системи і дорівнює сумі потенціальної енергій пружної деформації і роботи зовнішніх сил.

.

П

Рис. 8.8

ри цьому потенціальна енергія пружної деформації ототожнюється з роботою внутрішніх сил і є позитивною. Робота зовнішніх сил обчислюється як добуток сили на відповідне переміщення (без коефіцієнту ½) і вважається негативною. Функціонал Лагранжа або повна потенціальна енергія інколи трактується як енергія, яка витрачається при переході системи від деформованого стану до первісного.

Перетворення Лежандра

Рис. 8.9

Принцип Лагранжа-Дирихле

Для консервативної системи стійка, нестійка, байдужа рівновага мають місце відповідно:

		min max const

Приклади. Теорема Кастільяно

Рис. 8.10

,

.

, тобто при .

Теорема Клапейрона

Відповідні екстремальні значення функціоналів Лагранжа і Кастільяно співпадають.

Варіаційні рівняння функціоналів Лагранжа і Кастільяно утворюють так звану пару двоїстих задач варіаційного числення, коли попередні умови однієї задачі є природними умовами іншої і навпаки. Під природними умовами розуміються умови, яким задовольняють відповідні варіаційні рівняння.

За допомогою методу множників Лагранжа можна “поміняти місцями” додаткові і природні умови, тобто із функціонала Лагранжа отримати функціонал Кастільяно і навпаки. Таке перетворення у варіаційному численні має назву перетворення Фрідріхса. Зазначимо, що екстремальні значення функціоналів Лагранжа і Кастільяно, а також усіх функціоналів, які отримані за допомогою множників Лагранжа співпадають.

Лекція 9

Прямі методи варіаційного числення. Поняття про прямі методи. Принципові схеми методу Рітца, узагальненого методу Бубнова-Гальоркіна, методу Бубнова-Гальоркіна, методу Треффца

Поняття про прямі методи.

1. ,

2. ,

де – відомі функції, які задовольняють певним умовам, наприклад, граничним, – невідомі .

3. ,

4. , , .

Суть прямих методів варіаційного числення полягає у тому, що за допомогою розкладу 2) задача про екстремум функціонала 1) зводиться до задачі про екстремум функції багатьох змінних 3), яка розв’язується традиційним методом 4) і призводить до системи алгебраїчних рівнянь відносно невідомих , а потім здійснюється граничний перехід до вихідної задачі.

Основні підходи прямих методів.

, .

,

I. w обрані таким чином, що не усі граничні умови задовольняються:

Тоді застосовується звичайна процедура методу Рітца:

1.1 , або у розгорнутому вигляді

1.2

,

(♦)

Таким чином, отримали вираз (♦), який являє собою систему алгебраїчних рівнянь, після розв’язку яких знаходимо невідомі a₁,a₂, ... a_i … a_n, які містяться у виразах для відповідних похідних , .

Наприклад, якщо

, , ,

а

, .

Такий підхід має назву узагальненого методу І.Г.Бубнова-Б.Г.Гальоркіна.

II. підібрані таким чином, що усі граничні умови задовольняються, тоді:

, а вираз дає систему алгебраїчних рівнянь:

,

,

з якої знаходяться невідомі коефіцієнти a₁,a₂, ... a_i … a_n.. Такий підхід має назву методу І.Г.Бубнова - Б.Г.Гальоркіна.

III. Метод Треффца.

Функції підібрані таким чином, що вони задовольняють диференціальним рівнянням Ейлера, тобто:

.

Тоді вираз дає систему алгебраїчних рівнянь

,

з якої знаходяться невідомі a₁,a₂, ... a_i … a_n. .

Такий підхід має назву метод Треффца, який запропонував його 1 926 р., а у 1933 р. він був застосований Л.С.Лейбензоном.

Таким чином, найбільш загальними є методи Рітца і узагальнений метод Бубнова-Гальоркіна, які не потребують задовільняння усім граничним умовам, що значно розширює можливості при виборі системи базисних функцій . Метод Бубнова-Гальоркіна і метод Треффца з цієї точку зору є частиними випадками, відповідно, при і Разом з тим, слід мати на увазі, що метод Бубнова-Гальоркіна безпосередньо не пов’язаний із варіаційним численням і може розглядатись як метод розв’язування диференціальних рівнянь і відноситься до так званих проекційних методів або методів ортогоналізації

Лекція 10

Канонічні рівняння методу Рітца для функціонала Лагранжа. Приклад.

Повна потенціальна енергія системи дорівнює

Рис. 10.1

,

де – потенціальна енергія пружної деформації,

,

робота зовнішніх сил (рис. 10.1).

Застосуємо загальну процедуру методу Рітца

Тоді

Отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь

де невідомі – , коефіцієнти матриці , вектор навантажень –

.

Приклад

Задаємо w у вигляді ряду:

,

д

Рис. 10.2

е - відомі функції, які задовольняють граничним умовам:

Запишемо їх у вигляді таблиці:

	1	2	3
	2	6х

Обчислимо відповідні коефіцієнти матриці алгебраїчних рівнянь (матриці жорсткості):

,

,

Вектор навантажень ,

Система алгебраїчних рівнянь має вигляд:

Якщо у вихідному розкладі взяти лише один член ,

.

Точний розв’язок

.

Відповідно, два члени ,

,

(точний розв’язок).

Такий же результат отримаємо і при наявності розкладу , оскільки

, .

Лекція 11

Канонічні рівняння методу Бубнова-Гальоркіна для функціонала Лагранжа. Приклад

Наведемо розв’язок за методом Рітца іншої задачі (рис. 11.1). Природньо, що порівняно із попередньою (рис. 11.2) тут змінюється вектор навантажень:

Рис. 11.1 Рис. 11.2

, . Як і раніше , ,

Розв’язок цієї системи дає:

При .

Перейдемо безпосередньо до методу Бубнова-Гальоркіна. Нагадаємо, що рівність нулю першої варіації , дає

,

,

Якщо , то рівняння дає

,

звідки знаходимо

Отримаємо канонічні рівняння методу Бубнова-Гальоркіна для функціонала Лагранжа

.

.

Система алгебраїчних рівнянь

,

Приклад за методом Бубнова-Гальоркіна.

О

Рис. 11.3

скільки прийнятий вираз не задовольняє усім граничним умовам, зокрема, умовам на правому кінці балки при і , необхідно застосовувати узагальнений метод Бубнова–Гальоркіна, або заздалегідь задовольнити ці граничні умови.

Система рівнянь

,

при

, ,

дає такі вирази для коефіцієнтів матриці жорсткості для узагальненого методу Бубнова–Гальоркіна, які співпадають з такими, що отримані за методом Рітца

.

Вектор навантажень .

Інтегральні члени, природно, співпадають з коефіцієнтами (♦), а позаінтегральні ураховують граничні умови. Наприклад, і т.д.

Якщо скористатись звичайним підходом Бубнова–Гальоркіна, отримаємо:

.

,

, ,

,

Лекція 12

Рівняння методу Треффца. Приклад. Порівняння основних підходів

Система рівнянь методу Треффца

У методі Треффца функції обираються таким чином, щоб кожна з них являла собою частинний розв’язок диференціального рівняння Ейлера варіаційної задачі

Для нашого прикладу (рис. 11.1) отримаємо

Ураховуючи, що ,

.

Тоді

, .

Система рівнянь методу Треффца.

Розв’язок системи дає

.

Підсумкова таблиця

	Метод Рітца	Метод Бубнова-Гальоркіна	Метод Треффца
Як задається ф-ція w?
Як обираються функції ?	Функції задовольняють частині граничних умов. Задоволення усім граничним умовам не є обов’язковим	Функції обираються так, що задовольняють усім граничним умовам	Функції є частинними розв’яз-ками диференціаль-ного рівняння Ейлера
Як знаходяться невідомі ?	Із умови екстремуму функціоналу , ,	Із умови ортогональності кожної функції лівій частині диферен-ціального рівняння Ейлера задачі	Із умови ортого-нальності кожної функції лівій частині диферен-ціального рівняння Ейлера задачі на границі області

Лекція 13

Принцип двоїстості. Приклади

Згідно з принципом двоїстості матриці рівнянь статичної сторони задачі (рівнянь рівноваги) і геометричної сторони задачі (рівнянь сумісності деформацій) є взаємно транспонованими. Покажемо це на прикладі (рис. 13.1).

Рис. 13.1

Рис. 13.2

Рис. 13.3

Рівняння плоскої задачі теорії пружності.

– рівняння рівноваги.

– рівняння сумісності деформацій.

Таким чином, у плоскій задачі теорії пружності матриця рівноваги і матриця сумісності деформацій є транспонованими.

Для стержневої системи

– рівняння рівноваги;

– рівняння сумісності деформацій.

Наслідком принципу двоїстості є те, що матриця жорсткості і матриця піддатливості є взаємно оберненими. Розглянемо наступний приклад (рис. 13.4).

Рис. 13.4

- рівняння методу переміщень.

- рівняння методу сил.

,

де - матриця жорсткості; - матриця піддатливості.

.

Таким чином, матриця жорсткості і матриця піддатливості є взаємно оберненими.

Лекція 14

Поняття про нелінійні задачі