12 Вопрос: Уравнение Бернулли.

Уравнение Бернулли является одним из наиболее известных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Оно записывается в виде

y′+a(x)y=b(x)ym,где a(x) и b(x) − непрерывные функции.  Если m=0, то уравнение Бернулли становится линейным дифференциальным уравнением. В случае когда m=1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.  В общем случае, когда m≠0,1, уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению с помощью подстановкиz=y1−m.Новое дифференциальное уравнение для функции z(x) имеет вид

z′+(1−m)a(x)z=(1−m)b(x)и может быть решено способами, описанными на странице Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. 

13 Вопрос: Уравнение Клапейрона – Менделеева.

Уравнение Клапейрона-Менделеева (1834 г) устанавливает связь между объемом V, давлением P и абсолютной температурой Т для газа:

PV = nRT,

Из уравнения Клапейрона-Менделеева следует три закона:

1. Зако́н Ша́рля или второй закон Гей-Люссака — один из основных газовых законов, описывающий соотношение давления и температуры для идеального газа. Экспериментальным путём зависимость давления газа от температуры при постоянном объёме установлена в 1787 году Шарлем и уточнена Гей-Люссаком в 1802 году.

P/T=const

2. Закон Гей-Люссака: — закон пропорциональной зависимости объёма газа от абсолютной температуры при постоянном давлении, названный в честь французского физика и химика Жозефа Луи Гей-Люссака, впервые опубликовавшего его в 1802 году.

VT=const

3. Закон Болйя-Мариотта:

 При постоянной температуре и массе идеального газа произведение его давления и объёма постоянно. Это означает, что с ростом давления на газ его объем уменьшается, и наоборот.

PV=const

14 Вопрос: Основное уравнение молекулярно – кинетической теории идеальных газов и его вывод

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории устанавливает связь между давлением идеального газа и средней кинетической энергией его молекул.

Вывод основного уравнения молекулярно-кинетической теории основывается на допущениях моде­ли идеального газа и утверждении: давление газа является результатом ударов молекул о стенку сосуда.

Это основное уравнение молекулярно-кинетической теории. Это уравнение — первое количес­твенное соотношение, полученное в молекулярно-кинетической теории.

Давление идеального газа равно двум третям средней кинетической энергии поступательного движения молекул, содержащихся в единице объема.

Вопрос № 15. Закон Максвелла о распределении молекул идеального газа по скоростям и энергиям.

Максвелл предполагал, что вещество состоит из очень большого числа тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Также предполагалось, что силовые поля на газ не действуют.

Закон распределения молекул идеального газа по скоростям, теоретически полученный Максвеллом определяет, какое число dN молекул однородного  (p = const) одноатомного идеального газа из общего числа N его молекул в единице объёма имеет при данной температуре Т  скорости, заключенные в интервале от   v до v + dv.

Применяя методы теории вероятностей, Максвелл получил функцию f(ν) — закон о распределении молекул идеального газа по скоростям:

 

Вопрос № 16. Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул.

Медленность явлений переноса, например диффузии ароматических веществ – «распространение запаха», - при относительно высокой скорости теплового движения молекул (103 м/с) объясняется столкновениями молекул.

Молекула газа время от времени сталкивается с другими молекулами. В момент столкновения молекула резко изменяет величину и направление скорости своего движения. Расстояние, проходимое молекулой в среднем без столкновений, называется средней длиной свободного пробега. 

За секунду молекула в среднем проходит расстояние, численно равное ее средней скорости  . Если за это же время она испытает в среднем   столкновений с другими молекулами, то ее средняя длина свободного пробега   , очевидно, будет равна

Подсчитаем число столкновений ν.

Вероятность столкновения трех и более молекул бесконечно мала.

Предположим, что все молекулы застыли, кроме одной. Её траектория будет представлять собой ломаную линию. Столкновения будут только с теми молекулами, центры которых лежат внутри цилиндра радиусом d.  

       Путь, который пройдет молекула за одну секунду, равен длине цилиндра  . Умножим объём цилиндра   на число молекул в единице объёма n, получим среднее число столкновений в одну секунду:

Вопрос № 17. Число степеней свободы молекулы. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул.

Молекулы можно рассматривать как системы материальных точек (атомов) совершающих как поступательное, так и вращательное движения. При исследовании движения тела необходимо знать его положение относительно выбранной системы координат. Для этого вводится понятие о степенях свободы тела. Число независимых координат, которые полностью определяют положение тела в пространстве, называется числом степеней свободы тела.

При движении точки по прямой линии для оценки ее положения необходимо знать одну координату, т.е. точка имеет одну степень свободы. Если точка движения по плоскости, ее положение характеризуется двумя координатами; при этом точка обладает двумя степенями свободы. Положение точки в пространстве определяется 3 координатами. Число степеней свободы обычно обозначают буквой i. Молекулы, которые состоят из обычного атома, считаются материальными точками и имеют три степени свободы (аргон, гелий).

Двухатомные жесткие молекулы, например молекулы водорода, азота и др., обладают пятью степенями свободы: они имеют 3 степени свободы поступательного движения и 2 степени свободы вращения вокруг осей ОХ и OZ. Вращением вокруг оси OY можно пренебречь, т.к. момент инерции ее относительно этой оси пренебрежимо мал. Поэтому вклад энергии вращательного движения вокруг оси OY в суммарную энергию двухатомной молекулы можно не учитывать.

Молекулы, состоящие из трех и более жестко связанных атомов, не лежащих на одной прямой, имеют число степеней свободы i = 6: три степени свободы поступательного движения и 3 степени свободы вращения вокруг осей ОХ, OY и OZ.

В этом случае, если расстояние между атомами может изменяться (нежесткие молекулы), появляются дополнительные степени свободы .

Согласно молекулярно-кинетической теории газов движение молекул носит беспорядочный характер; эта беспорядочность относится ко всем видам движения молекулы. Ни один из видов движения не имеет преимущества перед другим. При статистическом равновесии движений энергия в среднем распределяется равномерно между всеми видами движения. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы молекул можно сформулировать следующим образом: статистически в среднем на каждую степень свободы молекул приходится одинаковая энергия. Поступательное движение молекул характеризуется средней кинетической энергией, равной   . Так как поступательному движению соответствует 3 степени свободы, то в среднем на одну степень свободы движения молекул приходится энергия

В однородном газе, молекулы которого имеют любое число степеней свободы i, каждая молекула в среднем обладает энергией движения, равной

Вопрос № 18. Первое начало термодинамики.

Первый закон термодинамики: количество теплоты, переданное системе, расходуется на изменение внутренней энергии системы при переходе ее из одного состояния в другое и на совершение ею работы против внешних сил: Q=ΔU+A.

Если вместо работы A системы над внешними телами ввести работу внешних сил A ' (А = –A '), то первое начало термодинамики можно переписать так:

 ΔU=Q+A′.

Первое начало термодинамики:

• при изобарном процессе A = pΔV = p (V₂ – V₁).

• при изохорном процессе ΔU = Q.

• при изотермическом процессе {\displaystyle (\Delta U=0)} ΔU = 0, и A = Q (вся теплота, переданная телу, идет на работу над внешними телами).

{\displaystyle Q=A={m \over M}RT\ln {V_{2} \over V_{1}}}

Вопрос № 19. Работа газа при изменении его объёма.

Пусть газ находится в цилиндрическом сосуде под поршнем. Если, расширяясь, газ перемещает поршень на бесконечно малое расстояние ( ), то его объем изменяется на бесконечно малую величину (dV). При этом совершается элементарная работа  (dA):

,                                (8.4)

где р – давление газа.

Полная работа (А), совершаемая газом при изменении его объема от   до  , определяется интегрированием формулы (8.4):

.                             (8.5)

Работу, производимую в любом процессе, можно изобразить графически в координатах p, V. Она равна площади под кривой зависимости   при расширении газа от   до   (рис. 8.1). Площадь, соответствующая изменению объема dV (мелкая штриховка) равна работе dA =p dV. Полная площадь фигуры а-b - -  равна работе газа:  .

Вопрос № 20. Теплоёмкость.

В термодинамике для характеристики тепловых свойств тел используется понятие теплоемкости. Теплоемкость - количество теплоты необходимое для нагревания тела на один Кельвин

(9.11)

Удельной теплоемкостью называется величина, числено равная теплоте, которую надо сообщить единице массы тела для повышения его температуры на один Кельвин:

(9.12)

Отсюда можно определить количество теплоты, необходимое для нагревания вещества, массы m

(9.13)

Молярная теплоемкость - количество тепла необходимое для нагревания одного моля вещества на один Кельвин

(9.14)

Воспользовавшись I законом термодинамики выражение (9.11) можно переписать в виде

(9.15)

откуда следует, что теплоемкость есть функция процесса, т.е. теплоемкость системы зависит от того каким образом система переходит из одного состояния в другое. Вообще говоря, таких процессов может быть сколько угодно, фактически же используются чаще всего теплоемкость при р=const(Cp) и при V=const(CV).

Вопрос № 21. Изопроцессы, адиабата.

Изопроце́ссы — термодинамические процессы, во время которых количество вещества и один из параметров состояния: давление, объём, температура или энтропия — остаются неизменными. Так, неизменному давлению соответствует изобарный процесс, объёму — изохорный, температуре — изотермический, энтропии — изоэнтропийный (например, обратимый адиабатический процесс). Линии, изображающие данные процессы на какой-либо термодинамической диаграмме, называются изобара, изохора, изотерма и адиабата соответственно. 

Адиабатный процесс – процесс, при котором система не получает тепло извне и не отдает его, то есть процесс происходит без теплообмена. , .

изотермический процесс	, Закон Бойля — Мариотта: при постоянной температуре и неизменных значениях массы газа и его молярной массы, произведение объёма газа на его давление остаётся постоянным:
изобарный процесс	, Закон Гей-Люссака: при постоянном давлении и неизменных значениях массы идеального газа и его молярной массы, отношение объёма газа к его абсолютной температуре остаётся постоянным:
изохорный процесс	Закон Шарля: для данной массы газа при постоянном объёме, давление прямо пропорционально температуре: