Особенности теоретико-множественных операций реляционной алгебры

Смысл операции объединения (пересечения, взятия разности) в реляционной алгебре остается теоретико-множественным. Но если в теории множеств операция объединения (пересечения, взятия разности) имеет смысл для любых двух множеств операндов, то в случае реляционной алгебры результатом операции объединения (пересечения, взятия разности) должно являться отношение. Если допустить, что в реляционной алгебре возможность объединения двух произведений отношений с разными схемами, то результатом операции будет множество разнотипных картежей, т.е. не отношения.

Если исходить из требования замкнутости реляционной алгебры относительно понятия отношения, то такая операция объединения является бессмысленной. Подобные соображения привели к появлению понятия совместимости отношений по объединению. Два отношения совместимы по объединению в том и только том случае, когда они обладают одинаковыми заголовками. Это означает, что в заголовках обоих отношений содержится один и тот же набор атрибутов и одноименные атрибуты определены на одном и том же домене.

Если два отношения совместимы по объединению, то при выполнении над ними операций объединения (пересечения, взятия разности), результатом операции является отношение с корректно определенным заголовком, который совпадает с заголовком каждого из отношений операнда.

Если два отношения почти совместимы по объединению, т. е. совместимы во всем кроме имен атрибутов, то до выполнения операций соединения эти отношения необходимо сделать полностью совместимыми по объединению путем применения операции переименования.

Другие проблемы, связанны с операциями взятия прямого произведения двух отношений. В теории множеств прямое произведение может быть получено для любых двух множеств и элементами результирующего множества являются пары, составленные из элементов первого и второго множеств. Поскольку отношения являются множествами, то для любых двух отношений возможно получение прямого произведения, но результат не будет отношением.

В реляционной алгебре используется специализированная форма операции взятия прямого произведении, так называемое расширенное прямое произведение отношений.

Проблемой получения расширенного прямого произведения может быть именование атрибутов результирующего отношения, если отношения и операнды обладают одноименными атрибутами.

Два отношения совместимы по взятию прямого произведения в том и только том случае, если множества имен атрибутов этих отношений не пересекаются. Любые два отношения могут быть сделаны совместимыми по взятию прямого произведения путем применения операции переименования к одному из этих отношений.

Реляционное исчисление

Реляционное исчисление является прикладной ветвью формального механизма исчисления предикатов первого порядка.

Базисными понятиями исчисления являются понятия переменной с определенной для нее областью допустимых значений и понятие правильно построенной формы, опирающиеся на переменные, предикаты и кванторы. В зависимости оттого, что является областью определения переменной, различают исчисления картежей и доменов. Исчисление картежей областями определения переменных является отношение базы данных. Допустимое значение каждой переменной является кортежем некоторого отношения. В исчислении доменов областью определения переменных являются домены, для которых определены атрибуты отношения базы данных, т.е. допустимым значение каждой переменной является значение некоторого домена.

Для определения картежей переменной используются оператор RANGE. Правильно построенная форма (ППФ) служит для выражения условий, накладываемых на картежные переменные. Основой ППФ являются простые сравнения. Которые представляют собой операции сравнения скалярных значений, т.е. значений атрибутов переменных или заданных констант. Более сложные варианты ППФ строятся с помощью логических операций И, ИЛИ, НЕ и оператора ЕСЛИ-ТО. Допускается также построение ППФ с помощью кванторов: EXISTS.

Переменные, входящие в ППФ, могут быть свободными или связанными. Все переменные, входящие в ППФ, при построении которых не использовались кванторы, являются свободными. Если имя переменной использовано в ППФ сразу после квантора, то эта переменная называется связанной и это означает, что такая переменная не видна за пределами ППФ, связавшую эту переменную. При вычислении значений такой ППФ используется не одно значение связанной переменной, а вся ее область определения.