3.3.2 Модели надежности на основе марковских цепей.

Пусть система состоит из m элементов, каждый из которых может находиться в двух состояниях l = 2. При этом число возможных состояний системы равно n = l ^m.

Каждое из состояний системы отличается состоянием хотя бы одного из ее элементов. Множество возможных состояний системы составляют полную группу. В частности, все элементы могут находиться в работоспособном состоянии или все элементы могут находиться в неработоспособном состоянии.

Система подвергается последовательности циклических нагружений. Например, включений в работу. При этом элементы системы, следовательно, и вся система в целом может случайным образом переходить из одного состояния в другое. Существует термин «система блуждает по состояниям».

Пусть индекс k = 0,1,2,… соответствует номеру цикла нагружения, причем k = 0 соответствует начальному состоянию системы.

Начальным условием является распределение вероятностей нахождения системы в каждом из возможных состояний при k = 0. Ряд распределения имеет вид

p1(0), p2(0), … pi(0), …pj(0), …pn(0).

Причем Σ pi(0) = 1, i =1,n так как множество состояний системы составляет полную группу несовместных событий.

Например, если достоверно известно, что в начальный момент времени система находилась в i-ом состоянии, то pi(0) = 1, а остальные члены ряда распределения равны нулю.

Задача 1. Определить закон распределения вероятностей по возможным состояниям системы при первом цикле нагружения.

Для этого необходимо знать вероятности переходов из любого i-ого состояния в любое j-ое состояние |pij| - матрицу переходных вероятностей. Например, переходная вероятность pii – это вероятность того, что система была в состоянии i и после нагружения осталась в этом же состоянии.

Тогда, по формуле полной вероятности, вероятность того, что система, находясь в произвольном состоянии i, после первого цикла нагружения перейдет в состояние j, будет равна

pj(1) = Σ _i=1,n (pi(0)pij) ; j = 1,n.

Задача 2. Определить вероятность безотказной работы системы на первом цикле нагружения.

Для этого необходимо ввести в рассмотрение вектор-столбец условных вероятностей безотказной работы для каждого из состояний, причем Рi = 1, если в i-ом состоянии система достоверно работоспособна и Pi = 0, если в i-ом состоянии система достоверно неработоспособна.

Тогда вероятность безотказной работы системы с учетом случайности возможных переходов на первом шаге нагружения будет равна

P(1) = Σ_j_=1,_n (pj(1)Pj) = Σ _j_=1,_n ((Σ_i_=1,_n(pi(0)pij)) Pj).

В матричной форме

P(1) = │pi(0)│║ pij ║ │Pj │, где

3.4. Модели надежности элементов систем.

3.4.1 Модель «нагрузка – прочность»

Рассматривается стационарная с непрерывными параметрами модель надежности элемента системы – вероятностная модель «нагрузка-прочность». Критерий отказа – превышение нагрузки над прочностью.

Пусть нагрузка характеризуется функцией распределения плотности вероятности приложенного электрического напряжения - f(u), где {u} – случайная непрерывная величина приложенного напряжения, а прочность характеризуется функцией распределения плотности вероятности пробивного напряжения (прочностная характеристика материала изоляции) – f(U), где {U} - случайная непрерывная величина пробивного напряжения.

Здесь обозначено: m_u– математическое ожидание приложенного напряжения, m_U – математическое ожидание электрической прочности.

Критерий работоспособности: – прочность больше или равна приложенному напряжению.

Вероятность безотказной работы элемента определяется из условия

Условная вероятность безотказной работы при условии, что приложенное напряжение равно u*

П о интегральной формуле полной вероятности вероятность безотказной работы элемента для любых возможных значений нагрузки u или через функцию распределения вероятностей

Если f(u) и f(U) подчиняются нормальным законам распределения с параметрами m_u, m_U (математическое ожидание нагрузки и прочности) и _Uи _u (среднее квадратическое отклонение нагрузки и прочности), то плотность вероятности разности случайных величин Z = U – u распределена также по нормальному закону