Выразим вероятность безотказной работы через интенсивность отказов

(t) = f(t)/P(t) = -(1 / P(t))  (dP(t) / dt).

Разделим переменные и произведем интегрирование

(t)dt = - (1/P(t))  dP(t) = - lnP(t)

(t)dt = - lnP(t) , так как lnP(0) = 0

Тогда, P(t) = exp(- (t)dt)

f(t) = (t)  exp(- (t)dt).

Функция плотности вероятности f(t) и интенсивности отказов (t) обе дифференциальные функции, относящиеся к моменту времени t и показывают долю отказавших образцов в единицу времени. Но для f(t) – эта доля по отношению к No начальному количеству образцов, а для (t) – эта доля по отношению к N(t) количеству не отказавших образцов на момент времени t.

При  - const будем иметь

(t) = 

P(t) = exp(-  t).

f(t) =   exp(-  t).

Средняя наработка до отказа – математическое ожидание наработки до отказа. Математическое ожидание – числовая характеристика закона распределения случайной величины.

В статистической формулировке

, где t_i – наработка на отказ отдельного образца.

3.2. Классификация моделей надежности.

Математическая модель надежности – это математическое выражение, связывающее значения действующих нагрузок, физических параметров системы с показателями надежности.

Математическая модель является результатом формирования процесса изменения технического состояния системы, развития дефектов, неисправностей и потери работоспособности.

Различают модели надежности систем и их элементов.

Техническое состояние системы формируется как совокупность технических состояний отдельных элементов. Критерий отказа системы формируется из условия: ведет ли данная совокупность отказов элементов к отказу всей системы. Показатели надежности системы вычисляются через показатели надежности элементов.

Техническое состояние элемента формируется как соотношение между физическими параметрами. Критерий отказа формируется из условия превышения заданным параметром допустимого предела. Например, нагрузки над прочностью. Нагрузки могут иметь механическую, электромагнитную, тепловую, химическую и др. природу. Соответствующие прочностные свойства элемента обеспечивают стабильность его структуры.

3.3. Модели надежности систем.

3.3.1 Последовательное и параллельное соединение элементов.

Пусть система состоит из элементов, каждый из которых в свою очередь может находиться в двух возможных состояниях. Пусть состояние 0 – работоспособное состояние (работа), а состояние 1 – неработоспособное состояние (отказ) рис. 3.5.

Рис. 3.5 Элемент системы с двумя возможными состояниями

Последовательное соединение двух элементов рис. 3.6 (а) образует систему, которая также может находиться в двух возможных состояниях рис. 3.6 (б).

а )

б )

Рис. 3.6 Последовательное соединение элементов (а), образующих систему (б).

Понятие последовательного соединения элементов в смысле надежности соответствует следующему утверждению (логической функции): система работоспособна, если работоспособен и первый и второй элементы или система неработоспособна, если неработоспособен или первый, или второй или оба элемента.

Параллельное соединение двух элементов рис. 3.7 (а) образует систему, которая также может находиться в двух возможных состояниях рис. 3.7 (б).

а )

б )

Рис. 3.7. Параллельное соединение элементов (а), образующих систему (б)

Понятие параллельного соединения элементов в смысле надежности соответствует следующему утверждению: система неработоспособна, если неработоспособен и первый и второй элементы или система работоспособна, если работоспособен или первый, или второй или оба элемента.

Пусть вероятность безотказной работы (состояния 0) для каждого из элементов равна P₁ и P₂ и следует определить вероятность безотказной работы системы при последовательном и параллельном их соединении.

На основании теоремы о произведении вероятностей для независимых событий при последовательном соединении элементов вероятность безотказной работы системы равна произведению вероятностей безотказной работы отдельных элементов

P_c = P₁  P₂.

На основании той же теоремы о произведении вероятностей при параллельном соединении элементов вероятность отказа системы равна произведению вероятностей отказов отдельных элементов

Q_c = Q₁  Q₂.

Вероятность безотказной работы в этом случае находится как вероятность противоположного события

P_c = 1 – Q_c.