Лекція № 7

7. Випадковий пошук

Регулярні, або детерміновані методи спуску, розглянуті в попередніх лекціях, не ефективні на неупорядкованому рельєфі. Якщо екстремумів багато, то спуск з одного початкового наближення може зійтись до одного з локальних мінімумів, не обов’язкового до абсолютного. Крім того, із зростанням розмірності задач різко знижується ефективність регулярних методів пошуку, які вимагають значних обчислювальних ресурсів. Тому іноді для дослідження таких складних задач застосовують випадковий пошук.

Ефективність випадкового пошуку пояснюється хорошою працездатністю при розв’язанні складних і багатоекстремальних задач, які, крім того можуть бути спотворені помилками вимірів. Суттєвим є те, що алгоритми випадкового пошуку універсальні і прости для реалізації. Тому цілком зрозумілий підвищений інтерес, який проявляється до теорії випадкового пошуку з її додатками з боку дослідників різних спеціальностей.

7.1. Простий випадковий пошук

Передбачається, що шуканий мінімум знаходиться в деякому n-вимірному паралелепіпеду. В цьому паралелепіпеді за рівномірним законом вибирають випадковим чином N пробних точок і розраховують в них цільову функцію. Точку, в якій функція має мінімальне значення, беруть як рішення задачі. Проте навіть при дуже великій кількості пробних точок ймовірність того, що хоча б одна точка попаде в невеликій окіл локального мінімуму, мізерно мала. Дійсно, нехай N = 10⁶ і діаметр котловини околу мінімуму становить 10 % від лімітів зміну кожної координати. Тоді об’єм цієї котловини становить 0,1ⁿ частину n-вимірного паралелепіпеда. Вже при числі n > 6 практично жодна точка в котловину не попаде.

Тому беруть невелику кількість точок N = (5…20)n і кожну точку розглядають як нульове наближення. З кожної точки здійснюють спуск, швидко попадаючи в найближчий яр або котловину; коли кроки спуску швидко вкорочуються, його припиняють, не домагаючись високої точності. Цього вже достатньо, щоб зробити висновки про величину функції в найближчому локальному мінімуму з задовільною точністю. Порівнюючи остаточні значення функції на всіх спусках, можна з’ясувати розташування локальних мінімумів і заставити їх величини. Після цього можна відібрати потрібні за змістом задачі мінімуми і провести в них додаткові спуски для отримання координат точок мінімуму з більш високою точністю.

При розв’язанні екстремальних задач на областях зі складною геометрією зазвичай цю область вписують n-вимірний гіперпаралелепіпед, в якому генерують випадкові точки за рівномірним законом розподілу, залишаючи тільки ті, які попадають в допустиму область (рис. 7.1). На цьому рисунку А і В – границі паралелепіпеда.

Розрізняють направлений і ненаправлений випадковий пошук.

7.2. Ненаправлений випадковий пошук

Всі випадкові іспити будують цілковито незалежно від результатів попередніх. Збіжність такого пошуку дуже мала, але є важлива перевага: можливість розв’язувати багатоекстремальні задачі (шукати глобальний екстремум). Прикладом є розглянутий вище простий випадковий пошук.