Лекція № 10

10. Числове рішення диференціальних рівнянь з частинними похідними

10.1. Класифікація диференціальних рівнянь в частинних похідних

Найбільш розробленими є методи наближеного розв’язання для диференціальних рівнянь в частинних похідних другого порядку з двома незалежними змінними. Для розв’язання багатьох практичних задач необхідно розглядати так звані лінійні диференціальні рівняння в частинних похідних, тобто диференціальні рівняння першого степеня відносно шуканої функції та всіх її похідних і які не містять їх добутків. Такі рівняння можна подати в наступному вигляді:

(10.1)

У рівнянні (10.1) шуканою є функція z, а х і у – незалежними змінними. Функції А(х, у), В(х, у), С(х, у), а(х, у), b(х, у), с(х, у) – неперервні функції від х і у такі, що мають неперервні частинні похідні.

Проведемо класифікацію диференціальних рівнянь в частинних похідних, засновану на розгляді рівняння (10.1). Уведемо для зручності позначення

і розглянемо спрощену форму рівняння (10.1):

(10.2)

яка відповідає рівнянню (10.1) при

Рівняння (10.2) завжди може бути приведено до однієї з трьох стандартних канонічних форм. Цими формами є еліптичні, параболічні і гіперболічні диференціальні рівняння в частинних похідних. Тип рівняння визначається значенням коефіцієнтів в рівнянні (10.2) і пов'язаний зі знаком дискримінанта в рівнянні (10.2).

В залежності від знака дискримінанта маємо:

Δ < 0 еліптичний тип в точці (х, у);

Δ = 0 – параболічний тип в точці (х, у);

Δ > 0 – гіперболічний тип в точці (х, у).

Якщо коефіцієнти А, В і С є величинами сталими, не залежними від х і у, то канонічні рівняння є повністю еліптичними, параболічними або гіперболічними.

10.2. Скінченнорізницеві апроксимації

Скінченнорізницеві апроксимації для частинних похідних є найбільш поширеним підходом до числового інтегрування диференціальних рівнянь у частинних похідних. Частинні похідні замінюються відповідними різницевими співвідношеннями по відповідним незалежним змінним. У загальному випадку розмірність області, у якій необхідно знайти розв’язання диференціального рівняння у частинних похідних, дорівнює кількості незалежних змінних. У випадку двох незалежних змінних х і у область є двовимірною.

М етод, що застосовується для скінченнорізницевої апроксимації, базується на покритті області сіткою прямокутних кліток шириною h (в напрямку осі Ох) і висотою k (в напрямку осі Оу). Величина залежної змінної встановлюється в будь-якій точці в межах області. Зокрема, коли задана одна точка прямокутної сітки з координатами , то чотири точки, що її оточують мають координати ; ; ; . Геометричний спосіб покриття області сіткою показаний на рис. 10.1.

Застосовуючи скінченнорізницеву схему, можна похідні подати наступним чином

Д ля наочного подання цих похідних зручно застосовувати шаблони, які мають вигляд:

У центрах кіл цих шаблонів указуються коефіцієнти диференціального рівняння. Коло центральної частини шаблону відповідає величині . Додатним приростам по горизонтальним лініям (рис. 10.1) відповідає лівий кінець, від'ємним – правий кінець шаблону.

Розглянемо застосування викладеного підходу до скінченнорізницевої апроксимації частинних похідних. Для функції застосуємо наступне позначення у вузлах сітки

Оскільки означає похідну від z по х при сталому у, отримуємо

.

При цьому обчислювальний шаблон має вигляд

Ц ей шаблон містить тільки горизонтальні елементи, оскільки s (або у) є величинами сталими.

Аналогічно можна отримати шаблон для похідної в напрямку s.

З мішана похідна виходить аналогічно:

М ноженням окремих елементів рядка на кожний елемент стовпця отримаємо