Практическая работа №1 Тема: Нахождение обратной матрицы.

Цель: Научиться выполнять действия над матрицами, вычислять определитель матрицы, находить обратную матрицу.

Теоретические сведения

Определение. Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

Основные действия над матрицами.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

С = А + В = В + А.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

 (А+В) =А  В

А() = А  А

Операция умножения матриц.

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

AB = C;

.

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А = ; В = А^Т= ;

другими словами, b_ji = a_ij.

Определитель матрицы.

Определение. Определителем матрицы второго порядка называется выражение

.

Определение. Определитель матрицы третьего порядка можно найти по правилу Саррюса

.

Для запоминания правила вычисления определителя третьего порядка предлагаем такую схему (правило треугольников):

Наметим точками элементы определителя, тогда слагаемые со знаком «плюс» — это произведения элементов главной диагонали a₁₁, a₂₂, a₃₃ и произведения элементов a₁₃, a₂₁, a₃₂ и a₁₂, a₂₃, a₃₁, расположенных в вершинах равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали. Со знаком «минус» берутся слагаемые, которые будут произведениями элементов второстепенной диагонали a₁₃, a₂₂, a₃₁ и в вершинах равнобедренных треугольников, основания которых параллельны второстепенной диагонали – a₁₁, a₂₃, a₃₂ и a₁₂, a₂₁, a₃₃.

Миноры и алгебраические дополнения.

Определение. Пусть определитель имеет n строк и n столбцов. Минором k-го порядка k [1; n–1] называется определитель, образованный из элементов, расположенных на пересечении каких-нибудь k строк и k столбцов определителя. Понятно, что минор первого порядка – это какой-нибудь элемент определителя.

Определение. Дополнительным минором для минора k-го порядка называется такой минор, который остается в определителе после вычеркивания тех k строк и тех k столбцов, на пересечении которых находятся элементы образовавшие минор k-го порядка.

Определение. Алгебраическим дополнением к минору k-го порядка является дополнительный минор (n–k)-го порядка, взятый со знаком , где . Если сумма номеров строк и столбцов четное число, то берется знак «+», если нечетное – то знак «–».

Тут – дополнительный минор (n–1)-го порядка, образованный вычеркиванием i-строки и j-столбца в изначальном определителе n-го порядка.

Теорема Лапласа (разложение определителя по строке или столбцу). Определителем n-го порядка называется число , которое равняется алгебраической сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на соответствующие ему алгебраические дополнения:

или

.

Алгебраические дополнения из формулы для вычисления определителя, являются в свою очередь, минорами, взятыми с соответствующими знаками, то есть определителями (n–1)-го порядка. В итоге, вычисление определителя n-го порядка сводиться к вычислению n определителей (n–1)-го порядка.

По формуле вино, что при наличии в определителе нулевых элементов соответствующие алгебраические дополнения вычислять не нужно.

Обратная матрица.

Определим операцию деления матриц как операцию, умножению на обратный элемент.

Определение. Матрица А^–1 называется обратной матрицей к квадратной невырожденной матрицы А, если выполняется соотношение: , где Е - единичная матрица того же самого порядка.

Обратная матрица – это матрица, составленная из транспонированной матрицы алгебраических дополнений и умноженная на число обратное ее определителю, имеет вид:

.