Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московская финансово-юридическая академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

lineynaya_algebra.doc

Скачиваний:

Добавлен:

01.07.2025

Размер:

3.68 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Множества и операции над множествами

Напомним основные обозначения, понятия, относящиеся к множествам, которых будем придерживаться дальше.

Начнем с основного понятия, которое встречается практически в каждом разделе математики - это понятие множества.

Множество - это совокупность, набор элементов, объединенных общими свойствами.

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами , а элементы множества строчными латинскими буквами .

Запись означает, что есть множество с элементами , которые связаны между собой какой-то функцией .

Замечание. Элементы в множество входят по одному разу, т.е. без повторений.

Основные операции:

Принадлежность элемента множеству:

где -- элемент и -- множество (элемент принадлежит множеству ).

Непринадлежность элемента множеству:

где -- элемент и -- множество (элемент не принадлежит множеству ).

Объединение множеств: .

Объединением двух множеств и называется множество , которое состоит из элементов множеств и , т.е.

или

Пересечение множеств: .

Пересечением двух множеств и называется множество , которое состоит из общих элементов множеств и , т.е.

Разность множеств: .

Разностью двух множеств и , например, множество минус множество , называется множество , которое состоит из элементов множества , которых нет в множестве , т.е.

Симметрическая разность множеств: .

Симметрической разностью двух множеств и называется множество , которое состоит из не общих элементов множеств и , т.е.

Дополнение множества: .

Если предположим, что множество является подмножеством некоторого универсального множества , тогда определяется операция дополнения:

Вхождение одного множества в другое множество: .

Если любой элемент множества является элементом множества , то говорят, что множество есть подмножество множества (множество входит в множество ).

Не вхождение одного множества в другое множество: .

Если существует элемент множества , который не является элементом множества , то говорят, что множество не подмножество множества (множество не входит в множество ).

Декартово произведение множеств.

Декартово произведение множеств

В начальных классах ученики решают задачу: используя цифры 1, 2, 3 образовать всевозможные двузначные числа.

Путем перебора дети получают:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

Запись каждого числа состоит из двух цифр, причем существенен порядок их следования. Например, из цифр 1, 2 образованы числа 12 и 21.

В том случае, когда важен порядок следования элементов множества, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В данной задаче – упорядоченные пары (а; b), образованные из элементов а и b. Это (1; 2), (1; 3), (1; 4) и т.д. Первый элемент а называют первой координатой пары, элемент b – второй.

Значит, в нашей задаче мы оперировали множеством А={1, 2, 3} и образовывали всевозможные пары.

Рассмотрим другой пример. Пусть А={1, 2, 3}, B={4, 5}. Образуем всевозможные пары (а;b) так, что а А, b В. Получим некоторое новое множество {(1; 5), (1; 4), (2; 4), (2; 5), (3; 4), (3; 5)}, элементами которого являются упорядоченные пары чисел. Это новое множество называют декартовым произведением множеств А и В.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая множеству В. Обозначают А В. Таким образом А В = {(x;y) | x A, y B}.

Операцию нахождения декартового произведения множеств А и В называют декартовым умножением этих множеств.

Рассмотрим следующий пример. Известно, что А В={(2, 3), (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 5), (3, 6)}. Установим, из каких элементов состоят множества А и В. Так как первая компонента пары декартового произведения принадлежит множеству А, а вторая – множеству В, то данные множества имеют следующий вид: А={2, 3}, B={3, 5, 6}.

Перечислим элементы, принадлежащие множеству А В, если А={a, b, c, d}, B=A. Декартово произведение А В={(a, a), (a, b), (a, c), (a, d), (b, a), (b, b), (b, c), (b, d), (c, a), (c, b), (c, c), (c, d), (d, a), (d, b) ,(d, c), (d, d)}.

Количество пар в декартовом прoизведении А В будет равно произведению числа элементов множества А и числа элементов множества В: n(А В)=n(A) n(B).

В математике рассматривают не только упорядоченные пары, но и наборы из трех, четырех и т.д. элементов. Такие упорядоченные наборы называют кортежами. Так, набор (1, 5, 6) есть кортеж длины 3, так как в нем три элемента.

Используя понятие кортежа, можно определить понятие декартового произведения n множеств.

Декартовым произведением множеств А , А ,…, A называют множество кортежей длины n, образованных так, что первая компонента принадлежит множеству А , вторая – А , …, n-ая – множеству А: А А … A .

Пусть даны множества А ={2, 3}; А ={3, 4, 5}; A ={7, 8}. Декартово произведение А А А ={ (2, 3, 7), (2, 3, 8), (2, 4, 7), (2, 4, 8), (2, 5, 7), (2, 5, 8),(3, 3, 7), (3, 4, 7), (3, 3, 8), (3, 4, 8), (3, 5, 7), (3, 5, 8)}.

Соответствие между множествами.

Соответствием между множествами X и Y называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств. Соответствия принято обозначать буквами P, S, T, R и др. Если xSy – соответствие между элементами множеств X и Y, то, соглаcно определению, S X Y.

Поскольку соответствие – это подмножество, то его можно задать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в данном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества. Например, соответствие между множествами X={1, 2, 4, 6} и Y={3, 5} можно задать: 1) при помощи предложения с двумя переменными: a<b при условии, что a X, b Y;

2) перечислив пары чисел, принадлежащих подмножеству декартова произведения X Y: {(1, 3),(1, 5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)}. К этому способу задания относят также задание соответствия при помощи графа (рис. 19) и графика (рис. 20). Y

Графом в математике называется конечная совокупность точек, называемых вершинами графа; некоторые из них соединены друг с другом линиями, которые называются ребрами графа. График соответствия представляет собой изображение множества X Yв виде точек на координатной плоскости. Представление соответствия в виде графа и графика позволяет изображать его в тех ситуациях, когда в заданном соответствии находится бесконечное множество пар чисел.

Пусть на множествах X=R, Y={4, 6} задано соответствие «больше». Так как в заданном соответствии находится бесконечное множество пар, то такое соответствие можно представить лишь наглядно.

Множество этих стрелок называют полным прообразом элемента t: R (t).

R (t)={a, c, d}.

Может случиться, что из данной точки не выходит ни одна стрелка, например, b. Тогда образ элемента b пуст: R(b)= .

Множество Х называют областью отправления соответствия R, множество Y – областью прибытия.

Совокупность А всех элементов из Х, имеющих непустые образы, называют множеством определения соответствия R.Множество В всех элементов из Y, имеющих непустой полный прообраз, называют множеством значений соответствия R.

Если график соответствия R между множествами Х и Y совпадает со всем декартовым произведением X Y, то соответствиеназывают полным. Если же график пуст, то R называют пустым соответствием.

Над соответствиями можно выполнять различные операции.

Если между множествами Х и Y заданы соответствия xPy и xQy, то их пересечением R=P Q называют соответствие xRy,график которого является пересечением графиков данных соответствий.

Объединением S=P Q данных соответствий называют соответствие xSy, график которого является объединением графиков соответствий xPy и xQy .

Если графики соответствий xPy и xQy – дополнительные множества в X Y (т.е. не пересекаются, а в объединении дают X Y), то такие соответствия называют противоположными. Например, соответствие «число х больше числа y» и соответствие «число х не превосходит числа y».

Соответствия P и Q называют несовместимыми, если не существует ни одной пары (х;y), для которой одновременно выполнялись бы условия xPy и xQy. Например, для прямых x y и x||y соответствия несовместимы.

Мощность множества.

В соответствии со сказанным я прежде всего напомню вам, что в течение этих лекций мы не раз имели дело с различными характерными собраниями чисел, которые мы теперь будем называть числовыми совокупностями или множествами. В области действительных чисел мы имели дело с такими множествами:

1) целые положительные числа,

2) рациональные числа,

3) алгебраические числа,

4) все действительные числа.

Каждое из этих множеств содержит бесконечно много чисел. И вот прежде всего возникает такой вопрос: нельзя ли, несмотря на это, в некотором определенном смысле сравнить между собой эти множества по величине или объему.

Все это мы поясним теперь на четырех упомянутых выше примерах. Может быть, на первый взгляд кажется естественным считать, что мощность множества натуральных чисел меньше мощности множества всех рациональных чисел, а эта последняя в свою очередь меньше мощности всех алгебраических чисел и что, наконец, последняя меньше мощности всех действительных чисел, ибо каждое из этих множеств возникает из предшествующего путем присоединения новых элементов. В конце концов такие уклонения не так уж удивительны, если иметь в виду, что здесь мы переходим в совершенно новую область.

Убедимся сперва на совсем простом примере в том, что собственная часть бесконечного множества действительно может иметь равную с ним мощность; для этого мы сравним множество всех натуральных чисел с множеством всех четных чисел:

Сопоставление, указываемое двойными стрелками, очевидно, обладает описанными выше свойствами, а именно, всякому элементу одного множества соответствует один и только один элемент другого множества. Следовательно, согласно определению Кантора, множество натуральных чисел имеет такую же мощность, как и его собственная часть, состоящая из четных чисел.

Итак, исследование мощностей наших четырех множеств не так уж просто. Тем поразительнее тот простой результат, который составляет содержание замечательного открытия Кантора, сделанного им в 1873 г.: три множества — всех натуральных, всех рациональных и всех алгебраических чисел — имеют одинаковую мощность, а множество всех действительных чисел имеет отличную от них, а именно, большую мощность.

Алгебраические структуры.
1. Алгебраические операции на множестве.

Алгебраической операцией на множестве X называется соответствие, при котором каждой паре элементов из множества X сопоставляется единственный элемент того же множества.

Примерами алгебраических операции могут служить:

- сложение на множестве натуральных чисел, поскольку сумма любых натуральных чисел является натуральным числом. Иначе говоря, при сложении каждой паре (х, у) натуральных чисел ставится в соответствие единственное натуральное число, обозначаемое х + у;

- вычитание на множестве целых чисел, так как разность любых целых чисел является целым числом или, говоря иначе, при вычитании каждой паре (х, у) целых чисел ставится в соответствие единственное целое число, обозначаемое х - у;

- деление на множестве рациональных чисел при условии, чтоисключается деление на нуль. Тогда частное любых рациональных чисел есть рациональное число, т.е. каждой паре (х, у) рациональных чисел ставится в соответствие единственное рациональное число.

С алгебраической операцией связано понятие замкнутого множества: если на множестве X задана алгебраическая операция, то говорят, что множество X замкнуто относительно этой операции.

Например, о множестве N натуральных чисел можно сказать, что оно замкнуто относительно сложения и умножения.

Существуют операции, которые не являются алгебраическими. Примером такой операции является вычитание на множестве натуральных чисел: х - у будет натуральным числом лишь при условии, что х > у, т.е. в множестве натуральных чисел есть пары, которым нельзя поставить в соответствие натуральное число.

Вычитание на множестве натуральных чисел не является алгебраической операцией, но мы знаем, что если разность натуральных чисел существует, то это число единственное. Аналогичной особенностью обладает и деление натуральных чисел. Говорят, что вычитание и деление есть частичные алгебраические операции на множестве натуральных чисел.

Свойства операций.

Операции над множествами обладают и рядом свойств, аналогичных свойствам сложения и умножения чисел.

1) переместительные законы пересечения и объединения (коммутативность):

А В = В А А В = В А

2) сочетательные законы пересечения и объединения (ассоциативность):

(А В) С = А (В С) (А В) С = А (В С)

3) А А = А А А = А

4) А = А = А

5) А U = A A U = U

6) распределительные законы (дистрибутивность):

(А В) С = (А С) (В С) (А В) С = (А С) (В С)

7) законы включения:

А (В С) (А В) (А С) (А В) (А С) А (В С)

Вычитание и дополнение также обладает рядом свойств.

8) А' А = А' А = U

9) (А В)' = А' В' (А В)' = А' В'

10) '= U U ' =

11) (A B) C = A (B C) (A B) C = (A С) В

12) (AB) B = A B (AB) С = (A B)(В С)

13) А(В С) = (АВ) (АС) А(В С) = (АВ) (АС)

Если вы хотите успешно сдать ЕГЭ, то должны обязательно выучить все эти свойства.

Данные свойства можно проиллюстрировать на кругах Эйлера в соответствии с порядком действия, например, рассмотрим ассоциативность пересечения, так как оно не столь очевидно, как свойство коммутативности. Изобразим множества А, В, С в виде трех попарно пересекающихся кругов и изобразим множество (А В) С на рис. 11, а множество А (В С) на рис. 12.

Однако рассмотрим более строгие доказательства некоторых законов.

Например, докажем ассоциативность операции объединения (А В) С = А (В С).

Чтобы доказать равенство двух множеств, надо убедиться, что каждый элемент множества (А В) С содержится в множестве А (В С), и наоборот.

1. Пусть х – любой элемент множества (А В) С. Тогда, по определению объединения, х А В или х С.

Если х А В, то по определению объединения х А или х В.

В том случае, если х А, то так же по определению объединения х (А В) С.

Если х В, то имеем, что х В С, а значит, х (А В) С.

Случай, когда х А и х В, сводится к рассмотренным. Таким образом, из того, что х А В, следует, что х (А В) С.

Если х С, то по определению объединения, х В С, и, следовательно, х (А В) С.

Случай, когда х А В и х С, сводится к рассмотренным выше.

Итак, мы показали, что каждый элемент множества (А В) С содержится в множестве А (В С), т.е. (А В) С А (В С).

Пусть у – любой элемент из множества А (В С). Тогда по определению объединения, у А, у В С.

Если у А, то по определению объединения, у А В, и, следовательно, у А (В С).

Если у В С, то у В или у С. В том случае, когда у В, то у А В и, значит, у (А В) С. Когда же у С, то у (А В) С. Случай, когда у В и у С, сводится к уже рассмотренным.

Итак, мы показали, что каждый элемент множества А (В С) содержится в множестве (А В) С, т.е. А (В С) (А В) С.

Согласно определению равных множеств заключаем, что (А В) С = А (В С).

Аналогично доказывается ассоциативность пересечения множеств и другие свойства операций над множествами.

Используя свойства операций над множествами, можно доказывать и другие равенства. Докажем, что для любых множеств А и В верно равенство (А' В)' = А В'.

Решение: Известно, что (А В)' = А ' В'. Применим эту формулу к выражению (А' В)'. Получим (А' В)'=(А')' В'. Но поскольку (А')'=А, то имеем: (А')' В'= А В'. Таким образом, (А' В)' = А В'.

Группа. Примеры.

Полугруппа называется группой, если в ней существует нейтральный элемент e такой, что при всех a из группы a*e=e*a=a (* - знак действия), и для каждого элемента a существует обратный a^-1, такой, что a*a^-1=a^-1*a=e.

Иными словами, упрощая, можно сказать, что на множествах можно задавать операции, обладающими тремя свойствами: 1) операция ассоциативна, то есть для любых трех элементов a, b и c выполняется соотношение (ab)c=a(bc); 2) существует единичный элемент e, что при любом a выполняется соотношение ea=ae=a; 3) существует обратный элемент, то есть для любого a можно найти такой однозначно определенный элемент a^-1, что aa^-1=a^-1a=e. Такая операция называется групповым умножением.

Примеры групп: группа всех целых чисел относительно сложения, группа положительных рациональных чисел относительно умножения. Эти группы коммутативны.

Далее будут приведены примеры числовых групп.

Коммутативные группы называются абелевыми.

Действие в группе обозначается обычно как умножение (мультипликативная запись), иногда как сложение (аддитивная запись). Аддитивная запись применяется только для абелевых групп. Нейтральный элемент при мультипликативной записи обозначается 1, при аддитивной 0. Соответственно, обратный к a элемент в мультипликативной записи обозначается a^-1, в аддитивной – через –a (называется противоположным элементом).

Введем понятие подгруппы. Если некоторое подмножество H множества элементов группы G само является группой относительно того же самого закона умножения, что и G, то группа H называется подгруппой группы G.

Для того, чтобы подмножество H было подгруппой группы G, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий: 1) подмножество H должно содержать вместе с любыми двумя своими элементами a и b их произведение ab; 2) подмножество H должно содержать вместе с любым своим элементом a, его обратный элемент a^-1. Смысл 1-го условия заключается в том, что закон умножения, определенный для группы G, является таковым и для подмножества H, так как, перемножая элементы этого подмножества, не выходим за его пределы. Ассоциативность умножения обеспечена тем, что умножение является таковым для группы G. В силу 2-го условия в подмножестве H для каждого элемента a существует обратный элемент a^-1; следовательно, в силу 1-го условия подмножество H содержит также aa^-1=e – единицу группы G. Указанные условия достаточны для того, чтобы подмножество H было подгруппой. Необходимость этих условий очевидна.

Кольцо. Примеры.

Непустое множество R называется кольцом, если в нем определены две алгебраические операции: сложение, ставящее в соответствие каждым двум элементам a, b элемент a + b, называемый их суммой, и умножение, ставящее в соответствие каждым двум элементам a, b элемент ab, называемый их произведением, причем эти операции обладают следующими свойствами:

I. (Коммутативность сложения) a + b = b + a;

II. (Ассоциативность сложения) a + (b + c) = (a + b) + c;

III. (Обратимость сложения) Для любых a и b из R уравнение a + x = b имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент такой, что a + c = b;

IV. (Коммутативность умножения) ab = ba;

Термин "кольцо" применяется также ко множествам с некоммутативным или даже неассоциативным умножением. Формулировки других свойств также меняются.

V. (Ассоциативность умножения) a(bc) = (ab)c;

VI. (Дистрибутивность умножения относительно сложения) (a + b)c = ac + bc.

Примеры колец. При обычных операциях сложения и умножения кольцом является:

1. Множество целых чисел.

2. Множество рациональных чисел.

3. Множество действительных чисел.

4. Множество рациональных чисел.

Поле. Примеры.

Примеры колец, приведенные в разделе Кольца, показывают, что в отношении обратной операции для умножения (в отличии от сложения) различные кольца обладают совершенно различными свойствами. Так, в кольце целых чисел деление выполняется лишь в исключительных случаях, причем все элементы кольца делятся на +1 и -1. В кольце же рациональных чисел деление всегда возможно (кроме деления на 0). Желая изучить свойства обратной операции для умножения, приходим к важнейшему частному случаю кольца - полю.

Полем называется кольцо P, обладающее следующими свойствами:

VII. (Обратимость умножения) Для любых a и b из P, где a ≠ 0, уравнение ax = b имеет (по крайней мере одно) решение, т. е. существует элемент такой, что aq = b.

VIII. P содержит по крайней мере один элемент, отличный от нуля.

Примеры полей. Из примеров 1-10 колец (Кольца) только 2, 3 и 4, т. е. рациональные, действительные и комплексные числа, являются полями. В примере 5 свойство VII выполнено, так как вообще нет элемента a ≠ 0, но не выполнено свойство VIII. В остальных примерах не выполняется свойство VII. Приведем еще следующие примеры полей.

1. Множество комплексных чисел a + bi с любыми рациональными a, b.

2. Множество действительных чисел вида с любыми рациональными a и b.

3. Множество всех рациональных функций с действительными коэффициентами от одного или нескольких переменных.

4. Множество из двух элементов, которые обозначим через 0 и 1, при следующем определении операций:

0 + 0 = 1 + 1 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1,

0 · 0 = 0 · 1 = 1 · 0 = 0, 1 · 1 = 1.

Числовые множества. Комплексные числа
1. Натуральные числа.

Натуральные числа — первый вид чисел, который изучают в школьном курсе математики. Какие числа называются натуральными? Сколько существует натуральных чисел? Какое натуральное число является наименьшим?

Определение.

Натуральные числа — это числа, которые используют при счете предметов.

Первые натуральные числа: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 и т.д.

Все натуральные числа образуют множество натуральных чисел. Множество натуральных чисел обозначают N.

Чтобы показать, что некоторое число, например, 5, является натуральным, пишут:

Читают: «пять принадлежит множеству натуральных чисел» или просто «пять принадлежит эн».

Сколько всего существует натуральных чисел?

Множество натуральных чисел бесконечно.

Натуральные числа можно пронумеровать по порядку, но для любого натурального числа существует следующее за ним большее число.

Наименьшее натуральное число — единица. (Нуль не является натуральным числом).

Наибольшего натурального числа не существует.

Следовательно, натуральных чисел бесконечно много.

Кольцо целых чисел.

Множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) образуют кольцо относительно обычных операций сложения и умножения. Это кольцо принято обозначать через Z. В данном параграфе мы будем изучать структуру кольца целых чисел.

Говорят, что целое число s делится на целое число r или что r делит s (или что r является делителем s),если rа=s, где а-некоторое целое число. Если r и делит s,и делится на s, то r=±s. Действительно, r=sа и s=rb для некоторых целых чисел а и b;следовательно, г=rаb и аb должно равняться 1.Так как а и b-целые, то и a, и b должны быть либо 1, либо - 1.

Положительное целое число р > 1, которое делится только на ±р или ±1, называется простым. Положительное целое число, большее 1, не являющееся простым, называется составным. Наибольший общий делитель двух целых чисел гr и s обозначается через НОД (r, s) и определяется как наибольшее положительное число, которое делит оба из них. Наименьшее общее кратное двух целых чисел r и sобозначается через НОК (r, s) и определяется как наименьшее положительное число, которое делится на оба из них. Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

В общем случае в кольце целых чисел деление возможно не всегда, зато имеют место две почти столь же важные операции, а именно сокращение и деление с остатком. В силу возможности сокращения кольцо целых чисел является областью целостности. Возможность деления c остатком (известного как алгоритм деления) обычно доказывается с помощью конструктивной процедуры. Мы сформулируем его в виде самоочевидной теоремы.

Теорема 2.1.1 (алгоритм деления).Для каждой пары целых чисел с и d при отличном от нуля d найдется единственная пара целых чисел Q, (частное) и s (остаток), таких, что

с=dQ+s, где 0≤ s < | d.

Обычно нас будет больше интересовать не частное, а остаток. Мы будем часто записывать остаток в виде равенства

s =≡ R_d [с],

которое читается так: s является остатком от деления с на d. Другим обозначением является

s ≡= с (mod d).

Соотношение такого вида называется сравнение и читается так: “s сравнимо с c по модулю d”. Оно означает, что при делении на d числа s и с имеют один и тот же остаток, но s не обязательно меньше d.

Вычисление остатка от сложного выражения, содержащего сложение и умножение, облегчается тем, что можно менять последовательность выполнения операции вычисления остатка со сложением и умножением. А именно справедливо следующее утверждение.

Поле рациональных чисел.

Q – поле рациональных чисел.

R – поле вещественных чисел.

C – поле комплексных чисел.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

Def. Множество V называется линейным (векторным) пространством над числовым полем K, если на множестве V корректным образом заданы две операции: одна - внутренняя, в дальнейшем именуемая сложением и обозначаемая ⊕, другая – внешняя над полем K, в дальнейшем именуемая умножением на скаляр и обозначенная ⊙, удовлетворяющие аксиомам:

I. "x, yÎV $zÎV | z = x ⊕ y:

1) x ⊕ y = y ⊕ x; 2) (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z);

3) $qÎV x ⊕ q = q ⊕ x = x; 4) "xÎV $yÎV x ⊕ y = q.

Эти аксиомы определяют абелеву группу по сложению.

II. "xÎV "aÎK $zÎV | z = a ⊙ x:

1) 1ÎK 1 ⊙ x = x;2)"xÎV "a, bÎK a ⊙ (b ⊙ x) = (a ⊙ b) ⊙ x.

III. Эти операции связаны соотношениями:

1) "a, bÎK "xÎV (a + b) ⊙ x = a ⊙ x ⊕ b ⊙ x;

2) "aÎK "x, yÎV a ⊙ (x ⊙ y) = a ⊙ x ⊕ a ⊙ y.

Линейное пространство, заданное над полем вещественных чисел, называется вещественным линейным пространством, а над полем комплексных чисел называется комплексным линейным пространством.

Элементы линейного (векторного) пространства называются векторами.

Поле действительных чисел.

Теорема 2. - поле.

Доказательство.

Поскольку операции сложения и умножения действительных чисел сводятся к операциям сложения и умножения рациональных, то нетрудно проверяется их ассоциативность, коммутативность, дистрибутивность.

(существование 0) (?)

Покажем, что класс :

(существование 1) (?)

Покажем, что класс :

(существование противоположного) (?)

Проверим, что :

(существование обратного для каждого ненулевого) (?)

Поскольку , - ненулевая ф.п.р.ч., следовательно, либо , либо положительны. Последнее влечет . Таким образом, среди членов последовательности , начиная с номера нет чисел, равных 0. Рассмотрим - подпоследовательность последовательности такую, что . Последовательность не содержит нулевых членов. Зная, что всякая подпоследовательность эквивалентна данной последовательности, имеем . Тогда . Поскольку ненулевая фундаментальная последовательность рациональных чисел и среди ее членов отсутствуют числа, равные 0, является частным фундаментальных последовательностей , а, значит тоже фундаментальна.

Проверим, что :

что и требовалось доказать.

Определение комплексного числа.

Ко́мпле́ксные^[1] чи́сла (устар. мнимые числа^[2]) — числа вида {\displaystyle x+iy} , где {\displaystyle x} и {\displaystyle y} — вещественные числа, {\displaystyle i} — мнимая единица (величина, для которой выполняется равенство: {\displaystyle i^{2}=-1} ). Множество комплексных чисел обычно обозначается символом {\displaystyle \mathbb {C} } (от лат. complex — тесно связанный).

Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, вычитания, умножения и деления. Относительно этих операций множество комплексных чисел {\displaystyle \mathbb {C} } является полем. Однако многие свойства комплексных чисел отличаются от свойств вещественных чисел; например, два комплексных числа нельзя сравнивать на больше/меньше.

Понятие комплексного числа и его геометрическая интерпретация.

Определение 1: Комплексными числами называются числа вида , где и - действительные числа, а число , определяемое равенством , называется мнимой единицей, если для этих чисел понятия равенства и действия сложения и умножения определены следующим образом:

1). Два комплексных числа и называются равными, если , ;

2). Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число ;

3). Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число ;

Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой записи комплексного числа, где называется действительной частью комплексного числа, а -мнимой частью.

Пример1: 7+3i

Любое действительное число содержится в множестве комплексных чисел. Поэтому его можно записать так: .

Пример: 4=4+0i

Определение 2: Комплексное число называетсякомплексно сопряженным

с числом и обозначается , то есть .

Пример2: 2+5iи 2-5i

Определение 3: Модулем комплексного числа называется число : . Причем .

Комплексное число можно изобразить двумя способами:

1. Точкой плоскости с координатами (а;в).

При этом действительные числа изображаются точками оси абсцисс, которую называют действительной осью, а чисто мнимые числа- точками оси ординат, которую называютмнимой осью.

2. В виде вектора с началом в начале координат ( ) и концом в точке М(а;в) ( ).

Каждой точке плоскости с координатами (а;в) соответствует один и только один вектор с началом в точке О(0;0) и концом в точке М(а;в),поэтому комплексное число можно изобразить в виде вектора .

Определение 4: Угол φ между действительной осью ОХ и вектором , отсчитываемый от положительного направления действительной оси, называетсяаргументом комплексного числа. Если отсчет ведется против движения часовой стрелки, то величина угла считается положительной, иначе- отрицательной.

Любое комплексное число имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное . Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка называетсяглавным значением аргумента.

Из определения тригонометрических функций следует:

Поле комплексных чисел.

Пусть – декартов квадрат поля действительных чисел, т.е. – множество упорядоченных пар действительных чисел. Определим на этом множестве две внутренние бинарные алгебраические операции – сложение и умножение по следующим правилам: положим по определению

(1)

(2) .

Очевидно, что сумма и произведение двух пар из снова есть пара из множества , т.к. сумма, произведение и разность действительных чисел есть действительные числа. Таким образом, – алгебраическая структура с двумя внутренними бинарными алгебраическими операциями.

Теорема. – поле.

Доказательство. Последовательно проверяем выполнение всех девяти аксиом поля.

1. Закон ассоциативности относительно сложения:

Пусть . Тогда по определению сложенияпар и .

С другой стороны, и .

Так как R поле, то сложение действительных чисел подчиняется закону ассоциативности и поэтому и . Отсюда следует равенство пар , а отсюда следует, в свою очередь, равенство , ч.т.д.

2. Существование нулевого элемента:

Обозначим , где 0 – нулевой элемент поля действительных чисел, т.е. число нуль. Пусть – произвольная пара из . Тогда по определению сложения пар и . Следовательно, и пара есть нулевой элемент относительно операции сложения, существование которого и требовалось доказать.

3. Существование противоположного элемента:

Пусть – произвольная пара из .

Покажем, что противоположным элементом является пара

. Действительно, по определению

сложения пар имеем:

и . Отсюда следует равенство , ч.т.д.

Алгебраические операции с комплексными числами.

Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i ²= –1. Число a называетсяабсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Основные договорённости:

1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a+ 0 i или a – 0 i. Например, записи 5 + 0 i и 5 – 0 i означают одно и то же число 5 .

2. Комплексное число 0+ bi называется чисто мнимым числом. Запись bi означает то же самое, что и 0+ bi.

3. Два комплексных числа a+ bi и c+ di считаются равными, если a= c и b= d. В противном случае комплексные числа не равны.

Сложение. Суммой комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число ( a+ c ) + ( b+ d ) i. Таким образом, при сложениикомплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число ( a – c ) + ( b – d ) i.

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

Умножение. Произведением комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число:

( ac – bd ) + ( ad + bc ) i . Это определение вытекает из двух требований:

1) числа a+ bi и c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2) число i обладает основным свойством: i ² = –1.

П р и м е р . ( a+ bi )( a – bi )= a ² + b ². Следовательно, произведение

двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному

положительному числу.

Деление. Разделить комплексное число a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) - значит найти третье число e+ f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di, даёт в результате делимое a+ bi.

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

П р и м е р . Найти ( 8 + i ) : ( 2 – 3i ) .

Р е ш е н и е . Перепишем это отношение в виде дроби:

Умножив её числитель и знаменатель на 2 + 3i

и выполнив все преобразования, получим:

Модуль и аргумент комплексного числа.

Комплексное число z = x + iy изобразим точкой z комплексной плоскости; точка z имеет координаты (x, y). Рассмотрим радиус-вектор этой точки (рис. 2). Модулем комплексного числа z называют длину г радиус-вектора данной точки. Модуль комплексного числа z обозначают через |z|. Следовательно, по определению

r = |z|, |z| 0. (17)

Поскольку г = (получено из формулы для расстояния между двумя точками на плоскости: 0 (0, 0) и z (x, y)), то

|z| = . (18)

- φ

Рис. 2

Эта формула выражает модуль комплексного числа z = x + iy через его действительную и мнимую часть. Формула (18) имеет простой геометрический смысл: она выражает длину гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами |х| и |y| (см. рис. 2).

z=|z|

Отметим, что модуль комплексного числа является неотрицательным действительным числом.

Аргументом комплексного числа z = x + iy называют величину угла φ наклона радиус-вектора к положительной полуоси Ox. Аргумент комплексного числа z обозначают так: Argz. При изменении z этот угол может принимать любые действительные значения (как положительные, так и отрицательные; последние отсчитываются по часовой стрелке). Если модули двух комплексных чисел равны, а значения угла φ отличаются друг от друга на 2π, или на число, кратное 2π, то точки, соответствующие этим комплексным числам, совпадают; комплексные числа в этом случае равны между собой. Следовательно, аргумент комплексного числа z имеет бесконечное множество значений, отличающихся друг от друга на число, кратное 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0, модуль которого равен нулю: |0| =0. Среди значений аргумента комплексного числа z0 существует одно и только одно значение, заключенное между —π, +π, включая последнее значение. Его называют главным значением аргумента и обозначают argz. Итак, модуль и аргумент комплексного числа z удовлетворяют следующим соотношениям:

|z|0, -π < argz π, Argz = argz + 2πn (n = 0, 1, 2, …).

Главное значение аргумента положительного действительного числа равно 0, главное значение аргумента действительного отрицательного числа равно π, главное значение аргумента мнимого числа bi (b > 0) равно π/2, главное значение аргумента мнимого числа –bi (b > 0) равно –π/2.

Выразим действительную и мнимую части комплексного числа z = x + iy через его модуль и аргумент. Пусть точка z изображает число z = x + iy (рис. 2). Из прямоугольного треугольника ОAz получаем

x = r cosφ, y = r sinφ, (19)

где r = |z|. Отсюда и из формул (17), (18) следует:

cosφ = , sinφ = , tgφ = .

Например: 1) найдём аргумент числа z = 1 – i. Так как Re z = 1, Im z = -1, то точка z = 1 – i лежит в IV четверти. Поэтому достаточно найти такое решение одного из последних уравнений , которое является углом в IV четверти. Рассмотрим уравнение cosφ = . Находим

cos φ = , φ = + 2kπ (k = 0, 1, 2, …);

2) найдём аргумент числа -1- i. Точка -1-i лежит в III четверти. Найдём такое решение уравнения tg φ = , которое является углом в III четверти. Находим

tg φ = 1, φ = + 2kπ (k = 0, 1, 2, …).

Геометрическое представление комплексных чисел.

Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:

Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a+ bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b (см. рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью.

Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается | a+ bi | или буквой r и равен:

Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль.

Аргумент комплексного числа - это угол между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда, tg = b /a .

Формула Эйлера.

Формула Эйлера названа в честь Леонарда Эйлера, который её ввёл, и связываеткомплексную экспоненту с тригонометрическими функциями.

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа x выполнено следующее равенство:

где e — основание натурального логарифма,

i — мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции sin и cos следующим образом:

Далее можно ввести понятие тригонометрических функций комплексной переменной. Пусть x = iy, тогда:

Известное тождество Эйлера, связывающее пять фундаментальных математических констант:

eⁱ^π + 1 = 0

является частным случаем формулы Эйлера при x = π.

Понятие о функции комплексного переменного.

Определение Пусть G область в комплексной плоскости C. Если каждой точке поставить в соответствие единственное комплексное число , то говорят, что на области задана однозначная функция комплексного переменного и обозначается ОбластьG называется областью определения функции, z –аргумент функции, значение функции в точке z.

Если каждому z ставится в соответствие несколько значений , то на области задана многозначная функция комплексного переменного.

Например, – однозначная функция; – многозначная функция.

Замечание.Так как задание комплексного числа z равносильно заданию двух действительных переменных x иy, то числу тоже соответствуют два действительных числа u и v:

Тогда зависимость равносильна двум зависимостям u = u(x,y), v = v(x,y), т. е.комплексная функция комплексного переменного определяется двумя действительными функциями двух действительных переменных: