Решение элементарных систем линейных алгебраических уравнений.

Основными методами решения элементарных систем линейных уравнений являются метод Крамера, матричный метод и метод Гаусса. Разберем их.

Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Пусть нам требуется решить систему линейных алгебраических уравнений   в которой число уравнений равно числу неизвестных переменных и определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то есть,  .

Пусть   - определитель основной матрицы системы, а   - определители матриц, которые получаются из А заменой 1-ого, 2-ого, …, n-огостолбца соответственно на столбец свободных членов:

При таких обозначениях неизвестные переменные вычисляются по формулам метода Крамера как  . Так находится решение системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера.

Пример.

Решите систему линейных уравнений методом Крамера  .

Решение.

Основная матрица системы имеет вид  . Вычислим ее определитель (при необходимости смотрите статью определитель матрицы: определение, методы вычисления, примеры, решения):

Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера.

Составим и вычислим необходимые определители  (определитель   получаем, заменив в матрице А первый столбец на столбец свободных членов  , определитель   - заменив второй столбец на столбец свободных членов,   - заменив третий столбец матрицы А на столбец свободных членов):

Находим неизвестные переменные по формулам  :

Ответ:

x₁ = 4, x₂ = 0, x₃ = -1.

3. Вырожденные и невырожденные СЛАУ.

По характеру поведения в системе все микрочастицы можно разделить на две группы: фермионы и бозоны. Фермионы – это частицы с полу численным спином (электроны, протоны, нейтроны и т.д.). Бозоны – это частицы с целочисленным спином (фотоны, фононы и т.д.).

В системе фермионы обладают выраженным свойством «уединенности» - если данное квантовое состояние уже занято фермионом, то другой фермион, данного типа, не может находится в этом состоянии (принцип Паули). Бозоны, наоборот, стремятся к объединению. Они могут неограниченно заселять одно и тоже состояние, причем с тем большей вероятностью, чем больше бозонов находится в этом состоянии.

Предположим, что на N одинаковых частиц приходится G состояний, в которых может находится отдельная частица.

Условие невырожденности: N/G << 1, (3.8),

т.е. число возможных состояний гораздо больше числа частиц. Такие системы называются невырожденными (например, идеальный газ).

Условие вырожденности: N/G » 1 (3.9),

Такие системы называются вырожденными. Вырожденные системы могут образовываться только из квантово-механических объектов. Однако, квантово-механический объекты могут образовывать невырожденные системы, если выполняется соотношение (3.8)

Физическая статистика, изучающая невырожденные системы, называется классической статистикой – это статистика Максвелла-Больцмана.

Статистика, изучающая вырожденные системы, называется квантовой статистикой. Есть две квантовые статистики: квантовую статистику фермионов называют статистикой Ферми-Дирака; квантовую статистику бозонов называют статистикой Бозе-Эйнштейна.

Если уменьшить число частиц в системе или увеличить число возможных состояний, то вырожденная система превращается в невырожденную. В этом случае применяется статистика Максвелла-Больцмана.

Для того, чтобы задать состояние частиц, надо указать значение их координат и импульсов или энергию частиц, которая определяется координатами и импульсами. Связь между этими двумя типами величин осуществляет статистическая функция распределения, которая выражает число частиц с энергией от E до E+dE в системе, состояние которой описывается двумя термодинамическими параметрами:

N_m,T(E)dE (3.10)

Ее называют полной статистической функцией распределения (m и T обычно опускают). Она может быть представлена в виде произведения числа состояний g(E)dE, приходящихся на интервал энергии dE, на вероятность заполнение этих состояний частицами f(Е), т.е.

N(E)∙dE = f(E)∙g(E)∙dE (3.11).

f(E) называют просто функцией распределения (плотность). Ее можно трактовать как среднее число частиц, находящихся в данном состоянии.

Задача отыскания полной функции распределения частиц по состояниям сводится к отысканию функции g(E)∙dE, описывающей распределение состояний по энергиям, и функции f(E), определяющей вероятность заполнения этих состояний частицами.

4. Теорема Кронекера-Капелли

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Доказательство (условия совместности системы)

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа  такие, что . Следовательно, столбец b является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что .

Достаточность

Пусть  . Возьмем в матрице A какой-нибудь базисный минор. Так как , то он же и будет базисным минором и матрицы B. Тогда согласно теореме о базисном миноре последний столбец матрицы B будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы A. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы A.

Следствия

Количество главных переменных системы равно рангу системы.

Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

5. Решение невырожденной СЛАУ обращением матрицы.

Матрица, имеющая отличный от нуля определитель, называется невырожденной; имеющая равный нулю определитель – вырожденной.

Матрица   называется обратной для заданной квадратной матрицы   , если при умножении матрицы   на обратную ей как справа, так и слева, получается единичная матрица, то есть   . (1.7)

Заметим, что в данном случае произведение матриц   и   коммутативно.

Теорема 1.2. Необходимым и достаточным условием существования обратной матрицы для заданной квадратной матрицы, является отличие от нуля определителя заданной матрицы 

Если главная матрица системы оказалась при проверке вырожденной, то для нее не существует обратной, и рассматриваемый метод применить нельзя.

Для невырожденной матрицы   можно найти обратную ей матрицу 

по следующему алгоритму.

1. Транспонируем матрицу   в матрицу   .

2. Вычисляем алгебраические дополнения   элементов матрицы   и записываем их в матрицу   .

3. Составим обратную матрицу   по формуле:

 . (1.8)

4. Сделаем проверку правильности найденной матрицы А^-1 согласно формуле (1.7). Заметим, что данная проверка может быть включена в итоговую проверку самого решения системы.

Система (1.5) линейных алгебраических уравнений может быть представлена в виде матричного уравнения:   , где   – главная матрица системы,   – столбец неизвестных,   – столбец свободных членов. Умножим это уравнение слева на обратную матрицу   , получим:

 . Так как по определению обратной матрицы   , то уравнение принимает вид   или   . (1.9)

Таким образом, чтобы решить систему линейных алгебраических уравненийнужно столбец свободных членов умножить слева на матрицу, обратную для главной матрицы системы. После этого следует сделать проверку полученного решения.

Пример Решить систему методом обратной матрицы

Решение. Вычислим главный определитель системы

 . Следовательно, матрица   невырожденная и обратная к ней матрица существует.

Найдём алгебраические дополнения всех элементов главной матрицы   :

   

Запишем алгебраические дополнения в матрицу

 . Воспользуемся формулами (1.8) и (1.9) для нахождения решения системы

 . Отсюда

6. Решение невырожденной СЛАУ методом Крамера.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

(4.1)

или в матричной форме А*Х=В.

Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы

называется определителем системы. Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Найдем решение данной системы уравнений в случае D¹0 

Умножив обе части уравнения А*Х=В слева на матрицу A^-1, получим

A^-1*A*X=A^-1*B Поскольку. A^-1*A=E  и Е*Х=Х , то

X=A^-1*B        (4.1)

Отыскание решения системыпо формуле (4.1) называют матричным способомрешения системы.

Матричное равенство (4.1) запишем в виде

то есть

Отсюда следует, что

Но   есть разложение определителя

по элементам первого столбца. Определитель D₁ получается из определителя D  путем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов. Итак,

Аналогично:  ,

 где D2  получен из D  путем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов: ,...,

Формулы

называются формулами Крамера.

Итак, невырожденная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено матричным способом (4.1) либо по формулам Крамера

7. Решение вырожденных СЛАУ..

Прямые методы решения СЛАУ. К прямым (или точным) методам решения СЛАУ относятся алгоритмы, которые в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить точное решение системы за конечное число арифметических действий. Чаще всего решение задач такими методами осуществляется поэтапно: на первом этапе систему преобразуют к тому или иному простому виду, на втором - решают упрощенную систему и получают значения неизвестных.

Запишем систему линейных алгебраических уравнений в развернутом виде:

где x₁, x₂,..., x_n - неизвестные величины, b₁, b₂,..., b_n - элементы правой части. Если определитель системы отличен от нуля, то она имеет единственное решение. Для удобства дальнейших преобразований обозначим элементы правой части а_i(n+1) и запишем расширенную матрицу размерами n(n+1), которая содержит всю информацию о системе:

A = .

С этой матрицей можно обращаться так же, как и с системой - переставлять строки, прибавлять кратное одной строки к другой, исключая неизвестные и приводя матрицу к треугольному или диагональному виду.

Приведем формальное описание схем некоторых прямых методов.

8. Однородные СЛАУ.

Однородные СЛАУ.

Однородная система  линейных алгебраических уравнений с неизвестными представляет собой систему вида

Однородные СЛАУ всегда совместны, поскольку всегда имеется нулевое решение.

Критерий существования ненулевого решения. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы ее матрица была вырождена.

Теор. Если столбцы , , …, - решения однородной СЛАУ, то и любая их линейная комбинация также является решением этой системы.

Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечное множество решений.

Естественно попытаться найти такие решения  , , …, системы, чтобы любое другое решение представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом.

Опр.Любой набор из линейно независимых столбцов , , …, , являющихся решениями однородной СЛАУ , где - число неизвестных, а - ранг ее матрицы , называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.

При исследовании и решении однородных систем линейных уравнений в матрице системы будем фиксировать базисный минор. Базисному минору будут соответствовать базисные столбцы и, следовательно, базисные неизвестные. Остальные неизвестные будем называть свободными.

Теор.О структуре общего решения однородной СЛАУ. Если , , …, - произвольная фундаментальная система решений однородной СЛАУ , то любое ее решение можно представить в виде

, где  , …, - некоторые постоянные.

Т.о. общее решение однородной СЛАУ имеет вид

.

Алгоритм решения однородной СЛАУ.

1. Записать матрицу системы.

2. Привести матрицу системы к ступенчатому виду и определить ее ранг.

3. Выбрать базисный минор и базисные неизвестные.

4. Записать однородную СЛАУ, соответствующую полученной матрице.

5. Последовательно выразить базисные неизвестные через свободные.

6. Заменить свободные переменные произвольными постоянными.

7. Записать ответ в виде  .

5. Элементы теории множеств.

   1. Понятие множества.

Множество – основное понятие математики и поэтому не определяется через другие.

Обычно под множеством понимают совокупность предметов, объединенных по общему признаку. Так, можно говорить о множестве студентов в группе, множестве букв русского алфавита и т.д. В повседневной жизни вместо слова «множество» употребляют слова «набор», «коллекция», «группа» и т.д. Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, ..., Z.

Для числовых множеств в математике приняты специальные обозначения:

N – множество натуральных чисел;

N₀ – множество целых неотрицательных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами. Например, сентябрь является элементом множества месяцев в году, число 5 – элемент множества натуральных чисел. Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита. Элементами множества могут быть множества. Так можно говорить о множестве групп института. Элементы этого множества – группы, являющиеся в свою очередь множествами студентов.

Связь между множеством и его элементом выражают при помощи слова «принадлежит». Высказывание «Элемент а принадлежит множеству А» записывают так: а  А, причем эта запись может быть прочитана иначе: «а – элемент множества А», «множество А содержит элемент а». Высказывание «Элемент а не принадлежит множеству А» записывают так: а  А (иначе: «а не является элементом множества А», «множество А не содержит элемент а»).

Если в обыденной речи слово «множество» связывают с большим числом предметов, то в математике этого не требуется. Множество может содержать один элемент, не содержать ни одного элемента.

. Существует лишь одно пустое множество. Примерами пустого множества могут служить множество людей на Солнце, множество натуральных корней уравненияМножество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым и обозначают символом  х + 8 = 0.

Множества могут быть конечными и бесконечными.

Множество называется конечным, если существует натуральное число п, такое, что все элементы множества можно перенумеровать числами от 1 до п. в противном случае множество называют бесконечным. Примером конечного множества является множество цифр, бесконечного – множество натуральных чисел.

2. Точечные и числовые множества.

Точечные множества (и, в частности, точечные множества на прямой) обладают рядом особых свойств, отличающих их от произвольных множеств и выделяющих теорию точечных множеств в самостоятельную математическую дисциплину.

ведем обозначения для простейших множеств на прямой.

Отрезок 

[a,b][a,b]

 — это множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам 

a⩽x⩽ba⩽x⩽b

.

Интервал 

(a,b)(a,b)

 — это множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям 

a<x<ba<x<b

.

Полуинтервалы 

[a,b)[a,b)

 и 

(a,b](a,b]

 определяются соответственно условиями: 

a⩽x<ba⩽x<b

 и 

a<x⩽ba<x⩽b

.

Интервалы и полуинтервалы могут быть несобственными. Именно, 

(−∞,+∞)(−∞,+∞)

 обозначает всю прямую, а, например, 

(−∞,b](−∞,b]

 — множество всех точек, для которых 

x⩽bx⩽b

.

Множества могут состоять из объектов самой различной природы. Их элементами могут быть буквы, атомы, числа, уравнения, точки, углы и т.д. Очень часто встречаются числовые множества, т.е. множества, элементами которых являются числа. Примерами числовых множеств являются:

а) множество всех натуральных чисел (   );

б) множество всех положительных рациональных чисел (   );

в) множество всех рациональных чисел(   );

г) множество всех целых чисел (   );

д) множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству   ;

е)   множество всех чисел вида   , где n принимает все натуральные значения.

Некоторые числовые множества имеют особые названия. Если даны два числа a и b, a<b, то множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству   , называют числовым отрезком или, если это не вызывает недоразумений, просто отрезком и обозначают [a; b]. На числовой оси ему соответствует отрезок с концами a и b

3. Основные операции над множествами.