Основные задачи на прямую в пространстве

Прямая линия в пространстве. Основные формулы:

1. Канонические уравнения прямой линии в пространстве, или уравнения прямой с направляющими коэффициентами, имеют вид

     (1)

где x₀, y₀, z₀ - координаты точки, через которую проходит прямая, а m, n и p - направляющие коэффициенты прямой, которые являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz направляющего вектора прямой.

Если  ,   и   - углы между прямой и координатными осями Ox, Oy и Oz, то

     (2)

,   и   называются направляющими косинусами прямой. Направляющие коэффициенты m, n и p можно рассматривать как проекции на координатные оси вектора, параллельного прямой, причем m, n и p не могут быть одновременно равны нулю. Уравнения (1) могут быть записаны также в виде

     (3)

2. В параметрическом виде уравнения прямой линии в пространстве записываются так:

x = x₀ + mt; y = y₀ + nt; z = z₀ + pt,     (4)

где t - параметр.

3. Общие уравнения прямой:

     (5)

Каждое из уравнений (5) - уравнение плоскости, и таким образом прямая в пространстве может рассматриваться как пересечение двух плоскостей, причем плоскости эти предполагаются непараллельными, т. е. соотношение

не имеет места.

4. Условие параллельности двух прямых в пространстве:

     (6)

имеет вид

     (7)

5. Условие перпендикулярности двух прямых (6) имеет вид

mm₁ + nn₁ + pp₁ = 0.     (8)

6. Угол между двумя прямыми (6) определяется по формуле

     (9)

7. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки A(x₁, y₁, z₁) и B(x₂, y₂, z₂), запишутся в виде

     (10)

8. Поверхности второго порядка. Канонические уравнения поверхностей второго порядка.

Поверхности второго порядка.

Если в пространстве R³ввести прямоугольную систему координатOxyz, то каждая поверхность определяется некоторым уравнениемF(x,y,z)=0,

(x,y,z) – координаты любой точки поверхности. ЕслиF(x,y,z) – многочлены не выше второй степени относительно совокупности переменныхx,y,z, то уравнениеF(x,y,z)=0 называется уравнением второго порядка, а поверхность изображаемая этим уравнением называется поверхностью второго порядка.

Если поверхность имеет специфическое расположение относительно системы координат ( например, симметрична относительно некоторых координатных плоскостей, или имеет вершину в начале координат и пр.), то её уравнение имеет достаточно простой вид, который называется каноническим.

Канонический вид уравнений поверхностей второго порядка. Геометрическое изображение.

1). Сфера радиуса Rс центром в начале координат (рис.56)

x²+y²+z²=R².

Уравнение (x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)²=R²изображает сферу радиусаRс центром в точкеM₀(x₀,y₀,z₀).

2). Эллипсоид с полуосями a,b,cи центром в начале координат (рис. 57)

+   +   =1.

При a=b=c=Rэллипсоид превращается в сферу радиусаR.

3). Однополостный гиперболоид с полуосями a,b,cи осьюOz(рис. 58)

+ - =1.

Сечения гиперболоида горизонтальными плоскостями z=hявляются эллипсами

+ =1+ 

Сечения гиперболоида вертикальными плоскостями x=hилиy=hявляются гиперболами.

- =1-   или - =1- 

3. Матрицы и детерминанты

   1. Обобщение понятия "вектор".

Матрица «один на два»   мы называем вектором-строкой, а матрицу «три на один»   –  вектором-столбцом. Это векторы? Да, это векторы! Причём эти векторы сами по себе не имеют никакого отношения к геометрии. В своих статьях по алгебре я неоднократно оговаривался, что «данный вектор нужно понимать в алгебраическом смысле» и на уроке о ранге матрицы привёл краткую теоретическую справку по этому поводу: вектор    – это упорядоченный набор чисел   (обычно действительных)…  и далее по тексту. А вот это уже более близко к истине: здесь, скажем, двумерный вектор   понимается именно как упорядоченная пара чисел, которую, в частности можно интерпретировать, как координаты геометрического вектора. Или как решение системы линейных уравнений (см., например, статью об однородных системах). Или ещё как-нибудь.

Но и это частность! На самом деле в определённом контексте векторами являются матрицы, многочлены, функции и т.д. …и даже наши «обычные» действительные числа! А почему нет? Пожалуйста: множество векторов   (никаких геометрических ассоциаций!), имеющих в наборе одно действительное число  .

Так что же такое вектор? Что объединяет все эти случаи?

Предположим, что для всех элементов некоторого множества определены операции их сложения   и умножения на скаляр  , причём результаты этих операций (полученные элементы) тоже принадлежат данному множеству. Если при этом выполнены следующие восемь аксиом (см. по ссылке), то рассматриваемые элементы называются векторами(никаких ассоциаций!!), а всё их множество – векторным или линейным пространством 

Обратите внимание на обозначения: абстрактный вектор чаще всего записывают жирной буквой – чтобы не возникало путаницы с различными «конкретными» векторами. Для векторного пространства стандартно используется буква   .

Итак, какие бы «частные семейства» векторов мы ни взяли (геометрические, матричные, строковые и т.д.) – для каждой из этих алгебраических структур справедливо следующее:

– все элементы рассматриваемого множества можно складывать и умножать на скаляр (далее работаем с действительными числами), причём результаты этих операций тоже принадлежат данному множеству.

– для операций сложения и умножения выполнены аксиомы векторного пространства

2. Векторы-столбцы и векторы-строки. Матрицы.

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля(например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы.

Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Для матрицы определены следующие алгебраические операции:

• сложение матриц, имеющих один и тот же размер;

• умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую   столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую   строк);

• в том числе умножение на матрицу вектора (по обычному правилу матричного умножения; вектор является в этом смысле частным случаем матрицы);

• умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (т. е. скаляр).

Транспонированная матрица

С каждой матрицей   размера   связана матрица   размера   вида

Такая матрица называется транспонированной матрицей для   и обозначается так  .

Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица   размера   при этом преобразовании станет матрицей размерностью   .

  Диагональная матрица

Диагональная матрица - квадратная матрица, все элементы которой кроме диагональных - нулевые  , иногда записывается как

  Единичная матрица

Единичная матрица - матрица, при умножении на которую любая матрица (или вектор) остается неизменной, является диагональной матрицей с единичными (всеми) диагональными элементами:

Для ее обозначения чаще всего используется обозначение I или E, а также просто 1 (или 1 специальным шрифтом).

Для обозначения ее элементов также используется символ Кронекера  , определяемый как:

 при 

  Нулевая матрица

Для обозначения нулевой матрицы - матрицы, все элементы которой нули (при сложении ее с любой матрицей та остается неизменной, а при умножении на любую получается нулевая матрица) - используется обычно просто 0 или 0 специальным шрифтом, или буква, начертанием похожая на ноль, например  .

Вектор-строка и вектор-столбец

Матрицы размера   и   являются элементами пространств   и   соответственно:

• матрица размера   называется вектор-столбцом и имеет специальное обозначение:

• матрица размера   называется вектор-строкой и имеет специальное обозначение:

3. Произведение строки на столбец.

 Пусть   – матрица-строка размера  1×n, и пусть   – матрица-столбец размера  n×1. (Иначе говоря, пусть число элементов в строке матрицы Aсовпадает с числом элементов в столбце матрицы B.)        Тогда произведением AB называется число, равное сумме попарных произведений соответствующих матричных элементов:

(1)

Формула (1) называется правилом умножения строки на столбец.

      Если матрица A содержит  m  строк, а матрица B –  n  столбцов, то произведениt AB представляет собой  m×n  матрицу, i,j-ый элемент которой вычисляется по правилу умножения  i-ой строки матрицы A на  j-ый столбец матрицы B. Например, при умножении двухстроковой матрицы   на матрицу-столбец   каждая из строк (A₁ и A₂) матрицы  A  поочередно умножается на столбец  B.        Результатом произведения  AB  является матрица размера  2×1:

4. Произведение матрицы на столбец.

Сложение матриц:

Вычитание и сложение матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера, т. е. для матриц, у которых число строк и столбцов соответственно равно. Суммой матриц А и В, называется матрицаС, элементы которой равны сумме соответствующих элементов. С = А + В c_ij = a_ij + b_ij Аналогично определяется разность матриц.

Умножение матрицы на число:

Операция умножения (деления) матрицылюбого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элементаматрицына это число.Произведением матрицыА на число k называетсяматрицаВ, такая что

b_ij = k × a_ij. В = k × A b_ij = k × a_ij. Матрица   - А = (-1) × А   называется противоположной матрице А.

Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число:

Операции сложения матрициумножения матрицына число обладают следующими свойствами: 1. А + В = В + А; 2. А + (В + С) = (А + В) + С; 3. А + 0 = А; 4. А - А = 0; 5. 1 × А = А; 6. α × (А + В) = αА + αВ; 7. (α + β) × А = αА + βА; 8. α × (βА) = (αβ) × А; , где А, В и С - матрицы, α и β - числа.

Умножение матриц (Произведение матриц):

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.Произведением матрицы А_m×n на матрицу В_n×p, называется матрица С_m×p такая, что с_ik = a_i1 × b_1k + a_i2 × b_2k + ... + a_in × b_nk, т. е. находиться сумма произведений элементов i - ой строки матрицы А на соответствующие элементы j - ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где А квадратная матрица, Е - единичная матрица того же размера.

Свойства умножения матриц:

Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. А × Е = Е × А = А

Умножение матрицобладает следующими свойствами: 1. А × (В × С) = (А × В) × С; 2. А × (В + С) = АВ + АС; 3. (А + В) × С = АС + ВС; 4. α × (АВ) = (αА) × В; 5. А × 0 = 0; 0 × А = 0; 6. (АВ)^Т= В^ТА^Т; 7. (АВС)^Т= С^ТВ^ТА^Т; 8. (А + В)^Т= А^Т+ В^Т;

5. Произведение матриц.

Произведением двух матриц А и В называется матрица С, элемент которой, находящийся на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие (по порядку) элементы j-го столбца матрицы В.

Таким образом, формула элемента матрицы C:

Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ .

Пример 1. Найти произведение двух матриц А и B, если

,

.

Решение. Удобно нахождение произведения двух матриц А и В записывать так, как на рис.2:

На схеме серые стрелки показывают, элементы какой строки матрицы А на элементы какого столбца матрицы В нужно перемножить для получения элементов матрицы С , а линиями цвета элемента матрицы C соединены соответствующие элементы матриц A и B, произведения которых складываются для получения элемента матрицы C.

В результате получаем элементы произведения матриц:

 

Таким образом получили произведение двух матриц:

.

6. Свойства линейных операций над матрицами.

Свойства линейных операций над матрицами

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число называются линейными операциями над матрицами. Непосредственно из определений вытекают следующие свойства линейных операций.

Для любых матриц 

A,B,CA,B,C

 одинаковых размеров и любых чисел 

α,βα,β

 справедливы равенства:

1. 

A+B=B+AA+B=B+A

 (коммутативность сложения);

2. 

(A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C)

 (ассоциативность сложения);

3. существует нулевая матрица 

OO

 (тех же размеров, что и 

AA

): 

A+O=AA+O=A

;

4. существует матрица 

(−A)(−A)

, противоположная матрице 

A:A+(−A)=OA:A+(−A)=O

;

5. 

α(A+B)=αA+αBα(A+B)=αA+αB

;

6. 

(α+β)A=αA+βA(α+β)A=αA+βA

;

7. 

(αβ)A=α(βA)(αβ)A=α(βA)

;

8. 

1⋅A=A1⋅A=A

.

7. Определитель (детерминант) матрицы. Свойства детерминанта. Способы вычисления детерминанта.

Определителем квадратной матрицы А=  называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы  по формуле: det A =   ,     где                        

М_1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов. Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу: det  A =                                        Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула: detA =   ,     i = 1,2,…,n.                         

            Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

 Определитель единичной матрицы равен 1.

Для указанной матрицы А число М_1к называется дополнительным минором  элемента матрицы a_1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. 

8. Вычисление детерминанта раскрытием по строке (столбцу).

Пусть А- квадратная матрица порядка n.

Алгебраическим дополнением A_ij элемента матрицы a_ij называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-той строки и j-того столбца, взятый со знаком «+», если сумма i+j четная, и со знаком «-», если нечетная.

Определитель порядка n>1 равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример. Вычислить определитель разложением по строке либо столбцу.

Разложим определитель по первой строке.

Ответ: -45.

Вычисление определителей путем приведения матрицы к треугольному виду.

Этот метод называют также методом элементарных преобразований.

Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Произвольная матрица приводится к треугольному виду методом элементарных преобразований.

Под элементарными преобразованиями понимают умножение какой-либо строки (столбца) на число l¹0 и добавление к другой строке (столбцу).

Замечание. Элементарные преобразования обратимы, т.е. если матрица А может быть получена из матрицы В элементарными преобразованиями, то матрица В также может быть получена из А обратными им элементарными преобразованиями.

Пример.

1. Умножим первую строку матрицы на (-3) и прибавим ее ко второй строке. Результат запишем во второй строке новой матрицы.

2. Умножим первую строку матрицы на 2 и прибавим ее к третьей строке. Результат запишем в третьей строке новой матрицы.

3. Умножим вторую строку матрицы на 5/4 и прибавим ее к третьей строке. Результат запишем в третьей строке новой матрицы.

Получим треугольную матрицу, определитель которой равен произведению элементов главной диагонали.

detA=1×4×(-5,5)= -22

Ответ: -22.

9. Единичная матрица.

  Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице ( ), называется единичной матрицей и обозначается символом E.        Элементы единичной матрицы могут быть представлены с помощью дельта-символа Кронекера:

.

(1)

      В матричной алгебре матрица E играет ту же роль, что число единица в системе вещественных чисел, а именно – при умножении на единичную матрицу (справа или слева) исходная матрица не изменяется:

.

(2)

      Действительно, пусть   – произвольная матрица размера  m×n. Рассмотрим  i,j-ый элемент матричного произведения AE, где E – единичная матрица  n-го порядка.        Согласно определению матричного произведения и с учетом свойств дельта-символа,

(3)

для любых допустимых значений индексов  i,j  и, следовательно, AE = A.

      Рассмотрим теперь  i,j-ый элемент матричного произведения EA, где E – единичная матрица  m-го порядка:

(4)

Попарное равенство матричных элементов для всех  i,j  влечет за собой равенство соответствующих матриц: EA = A.

10. Обратная матрица. Вычисление элементов обратной матрицы.

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Обозначения: Как вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом 

Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется найти обратную матрицу для матрицы «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения.

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы 

Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

1) Сначала находим определитель матрицы.

2) Находим матрицу миноров  .

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица  , то есть в данном случае  .  осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.

Возвращаемся к нашей матрице  Сначала рассмотрим левый верхний элемент: А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент: Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров: Рассматриваем следующий элемент матрицы  : Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент: То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу: Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры: Готово.

 – матрица миноров соответствующих элементов матрицы  .

3) Находим матрицу алгебраических дополнений  .

Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел: Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!

 – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  .

И всего-то лишь…

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений  .

Что такое транспонирование матрицы, и с чем это едят, смотрите в лекции Действия с матрицами.

 – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  .

5) Ответ.

Вспоминаем нашу формулу  Всё найдено!

Таким образом, обратная матрица:

11. Вырожденная матрица. Ранг матрицы.

• У вырожденной матрицы нет стандартной обратной матрицы. В то же время у вырожденной матрицы есть псевдообратная матрица (обобщённая обратная матрица) или даже их бесконечное количество.

• Ранг вырожденной матрицы меньше её размера (числа строк).

• Произведение вырожденной матрицы и любой квадратной матрицы с тем же размером даёт вырожденную матрицу. Это вытекает из свойства {\displaystyle \det(AB)=\det(A)\cdot \det(B).}  Вырожденная матрица, возведённая в любую целую положительную степень, остаётся вырожденной. Произведение любого количества матриц вырождено тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей вырожден. Произведение невырожденных матриц не может быть вырожденным.

• Транспонирование вырожденной матрицы оставляет её вырожденной (поскольку транспонирование не изменяет определитель матрицы, {\displaystyle \det(A^{T})=\det(A)} ).

• Умножение вырожденной матрицы на скаляр оставляет её вырожденной (поскольку {\displaystyle \det(\alpha A)=\alpha ^{n}\det(A)=0} , где n — размер вырожденной матрицы A, α — скаляр).