Линейная алгебра Теоретическая часть.

1. . Векторный анализ и аналитическая геометрия на плоскости

   1. Системы координат на плоскости.

Декартова система координат.

 Под прямоугольной (декартовой) системой координат понимают пару взаимно перпендикулярных прямых с заданными направлением и масштабом. Вертикальная прямая – ось   (ось ординат); горизонтальная – ось   (ось абсцисс). Система координат используется для однозначного определения положения объектов на плоскости. Это делается с помощью координат точек. Каждая точка  на плоскости определяется двумя числами  , (рис. 1), называемыми координатами  . Точки   и   расположены на плоскости в соответствии с своими координатами.

Полярная система координат.

 Полярная система координат состоит из точки  которая называется полюсом, и оси, задающей некоторое первоначальное направление. Как правило, оно совпадает с направлением оси   Тогда положение любой точки определяется расстоянием от неё до полюса и углом между прямой, содержащей точку и проходящей через полюс, и первоначальным направлением (рис. 2). Так точка   в полярной системе координат имеет положение, указанное на рис. 3.

 Связь между декартовой и полярной системами можно установить, совместив их начала координат и выразив координаты произвольной точки в обеих системах (рис. 4). Так, если точка имеет в декартовой системе координаты , а в полярной –  , то  ,  . Отсюда следует и обратное выражение  ,  .

Расстояние между двумя точками на плоскости.

 Пусть в декартовой системе координат даны две точки   и   (рис. 5). Тогда расстояние   можно найти из прямоугольного треугольника  . По теореме Пифагора

 Отсюда

.

2. Векторы и линейные операции над ними.

Скалярные и векторные величины

Вектором называется направленный отрезок, который определяется двумя точками: первая точка определяет начало вектора, а вторая - его конец. Поэтому еще говорят, что вектор - это упорядоченная пара точек.

На рисунке вектор изображается отрезком прямой, на котором стрелкой отмеченное направление от начала вектора к его концу. Например, рис. 2.1.

Е сли начало вектора совпадает с точкой  , а конец с точкой , то вектор обозначается . Кроме этого, часто векторы обозначают одной маленькой буквой со стрелкой над ней . В книжках иногда стрелку опускают, тогда для обозначения вектора употребляют жирный шрифт.

К векторам относится нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают. Он обозначается или просто .

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, или модулем. Модуль вектора обозначается двумя вертикальными черточками слева: , или без стрелочек или .

Векторы, параллельные до одной прямой, называются коллинеарными.

Векторы, лежащие в одной плоскости или параллельные одной и той же плоскости, называются компланарными.

Нулевой вектор считается коллинеарным к любому вектору. Длина его равна 0.

Определение Два вектора и называются равными (рис. 2.2), если они: 1)коллинеарны; 2) сонаправлены 3) равны по длине.

Это записывают так:  (2.1)

Из определения равенства векторов вытекает, что при параллельном переносе вектора получается вектор, равный начальному, потому начало вектора можно разместить в любую точку пространства. Такие векторы (в теоретической механике, геометрии), начало которых можно размещать в любой точке пространства, называют свободными. И именно такие векторы мы будем рассматривать.

3. Проекция вектора на ось.

Выражение «проекция вектора АВ на ось ОХ» употребляется в двух разных смыслах: геометриче­ском и алгебраическом (арифметическом).

1. Проекцией (геометрической) вектора АВ на осьОХ называется вектор А'В' , начало которо­го А' есть проекция начала А на ось ОХ, а конец В' — проекция конца В на ту же ось.

Обозначение: Пр_охАВ или, короче, ПрАВ . Если ось ОХ задана вектором с, то векторА'В' на­зывается такжепроекцией вектора АВ на направле­ние вектора с и обозначается Пр_сАВ .

Геометрическая проекция вектора на ось ОХ на­зывается также компонентой вектора по оси ОХ.

2. Проекцией (алгебраической) вектораАВ на ось ОХ (или на направление вектора с) называетсядлина вектораА'В', взятая со знаком + или -, смотря по то­му, имеет ли векторА'В' то же направление, что и ось ОХ (вектор с), или противоположное.

Обозначение: пр_охАВ или пр_сАВ .

Замечание. Геометрическая проекция (компо­нента) вектора есть вектор, а алгебраическая проек­ция вектора естьчисло.

Основные теоремы о проекциях вектора

Теорема 1. Проекция суммы векторов на ка­кую-либо ось равна сумме проекций слагаемых векто­ров на ту же ось.

Теорема справедлива при обоих смыслах термина «проекция вектора» и при любом числе слагаемых; так, при трех слагаемых

Пр (а₁+ а₂+ а₃) = Пр а₁+ Пр а₂+ Пр а₃(1) и

np(а₁+ а₂+ а₃) = пра₁+ пра₂+ пра₃. (2)

Теорема 2. Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:

пр. b= |b|cos(а^b). (3)

4. Разложение вектора на компоненты.

Разложение вектора на компоненты.

Ра ссмотрим вектор , заданный своими координатами: .

- компоненты вектора по направлениям базисных векторов .

Выражение вида  называется разложением вектора на компоненты.

Аналогичным образом можно разложить на компоненты вектор  :

.

Косинусы углов, образованные рассматриваемым вектором с базисными ортами  называютсянаправляющими косинусами

;  ; .

.

5. Скалярное произведение векторов, его свойства, физический и геометрический смысл.

Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается скалярное произведение  или

или  = (4.1)

Рис. 1

OC= ,OD= .

Если учесть, что в формуле (4.1) произведение  равно проекции вектора на ось вектора , получим:

.

Аналогично  – есть проекция на ось вектора , т.е.

.

Учитывая сказанное, получим 2-е определение скалярного произведения.

Опр. Скалярное произведение векторов равно произведению

модуля одного из них на проекцию на него же второго

вектора.

(4.2)

(определение скалярного произведения через проекции).

Формула (4.1) так же как и (4.2) часто используется при решении задач

6. Преобразование координат вектора при повороте системы координат. Основные задачи аналитической геометрии.

7. Прямая линия на плоскости.

Вертикальные прямые перпендикулярны оси Ox и, следовательно, не имеют углового коэффициента. Вертикальная прямая линия имеет уравнение вида   , где а – некоторая константа. Кстати, если положить в уравнении (3.5)   , то мы получим уравнение горизонтальной прямой линии:   .

В любом случае уравнение прямой линии является уравнением первой степени. Общим уравнением прямой линии называется уравнение

 , (3.6)

где А, В и С – постоянные числа, причем коэффициенты А и В не равны нулю одновременно:   . Если в уравнении (3.6) коэффициент В отличен от нуля, то данное уравнение можно записать в виде   . Сравнивая полученное уравнение с (3.5), получим полезную формулу:

 . (3.7)

Если в уравнении (3.6) коэффициент В = 0, то данное уравнение задает вертикальную прямую:   .

Предположим, что прямая линия проходит через две точки   и   . Предположим сначала, что x₁ ¹ x₀, т. е. прямая MN не параллельна оси Oy. В уравнение (3.8) вместо текущих координат подставим координаты точки N:   . Из полученного равенства найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки:

 .

Подставляя найденный угловой коэффициент в уравнение (в предположении, что y₁ ¹ y₀), мы получим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

 . (3.10) Если x₁ = x₀, то прямая MN параллельна оси Oy, и уравнение этой прямой, очевидно, будет x = x₀.

Если y₁ = y₀, то прямая MN параллельна оси Ox, и уравнение этой прямой будет y = y₀.

g Угол между двумя прямыми   и   находится по формуле:

 . (3.11)

можно найти тот угол между прямыми, который получается при повороте прямой   против часовой стрелки вокруг точки пересечения прямых, до совмещения с прямой   .

 

угол j является разностью углов a и b, которые образуют с осью Ox соответственно прямые  и   (рис. 3.3). Таким образом, подставляя   в формулу   , получим:

 .3

8. Направляющий вектор.

Направляющий вектор прямой – определение, примеры, иллюстрации.

Для правильного понимания информации этой статьи необходимо иметь четкое представление о прямой линии на плоскости и в пространстве, а также знать основные определения, связанные с векторами. Так что рекомендуем сначала ознакомиться с материалом разделов прямая на плоскости, прямая в пространстве и векторы – основные определения.

Озвучим определение направляющего вектора прямой.

Направляющий вектор прямой - это любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или на параллельной ей прямой.

Из определения направляющего вектора прямой следует, что существует бесконечно много направляющих векторов заданной прямой. Более того все направляющие векторы прямой лежат либо на этой прямой, либо на прямой ей параллельной, то есть, все направляющие векторы заданной прямой коллинеарны. Таким образом, если   - направляющий вектор прямой a, любой из векторов   при некотором ненулевом действительном значении t также является направляющим вектором прямой a (при необходимости смотрите статью условие коллинеарности векторов).

Из определения направляющего вектора прямой также следует, что множества направляющих векторов параллельных прямых совпадают. Другими словами, если прямые a и a₁ параллельны и вектор   - направляющий вектор прямой a, то вектор   также является направляющим вектором прямой a₁.

Наконец, определение направляющего вектора прямой и определение нормального вектора прямой позволяют заключить, что любой нормальный вектор прямой aперпендикулярен любому направляющему вектору прямой a.

Приведем пример направляющего вектора прямой.

Если в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz, то координатные векторы   и   являются направляющими векторами координатных прямых Ox, Oy и Oz соответственно.

9. Общее уравнение прямой, различные формы уравнения прямой. Параллельность и перпендикулярность прямых.

В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.

Уравнение вида

 (1)

называется общим уравнением прямой.

Угол  , определяемый, как показано на рис., называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой k:

Уравнение   называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k - угловой коэффициент, b - величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

Если прямая задана общим уравнением

,

то ее угловой коэффициент определяется по формуле

.

Уравнение   является уравнением прямой, которая проходит через точку   ( ,  ) и имеет угловой коэффициент k.

Если прямая проходит через точки  ( ,  ),  ( ,  ), то ее угловой коэффициент определяется по формуле

.

Уравнение

является уравнением прямой, проходящей через две точки  ( ,  ) и  ( ,  ).

Если известны угловые коэффициенты   и   двух прямых, то один из углов   между этими прямыми определяется по формуле

.

Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:

.

Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение

, или  .

Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

Признаки параллельности прямой и плоскости:

 

1)  Если прямая, лежащая вне плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

 

2)  Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

 

Признаки параллельности плоскостей:

 

1)  Если две пересекающиеся прямые одной плоскости cоответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

 

2)  Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.

10. Уравнение окружности.

Аналитическая геометрия дает единообразные приемы решения геометрических задач. Для этого все заданные и искомые точки и линии относят к одной системе координат.

В системе координат можно каждую точку охарактеризовать ее координатами, а каждую линию – уравнением с двумя неизвестными, графиком которого эта линия является. Таким образом геометрическая задача сводится к алгебраической, где хорошо отработаны все приемы вычислений.

Окружность есть геометрическое место точек с одним определенным свойством (каждая точка окружности равноудалена от одной точки, называется центром). Уравнение окружности должно отражать это свойство, удовлетворять этому условию.

Геометрическая интерпретация уравнения окружности – это линия окружности.

Если поместить окружность в систему координат, то все точки окружности удовлетворяют одному условию – расстояние от них до центра окружности должно быть одинаковым и равным окружности.

Окружность с центром в точке А и радиусом Rпоместим в координатную плоскость.

Если координаты центра (а;b), а координаты любой точки окружности (х; у), то уравнение окружности имеет вид:

Если квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов разностей соответствующих координат любой точки окружности и ее центра, то это уравнение является уравнением окружности в плоской системе координат.

Если центр окружности совпадает с точкой начала координат, то квадрат радиуса окружности равен сумме квадратов координат любой точки окружности. В этом случае уравнение окружности принимает вид:

Следовательно, любая геометрическая фигура как геометрическое место точек определяется уравнением, связывающим координаты ее точек. И наоборот, уравнение, связывающее координаты х и у, определяют линию как геометрическое место точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

11. Основные задачи на прямую и окружность.

В чертежной практике применяются различные инструменты: линейки (с делениями и без них), циркули разных типов, чертежные треугольники, лекала и т. п. При теоретическом изучении геометрических построений рассматриваются лишь два основных инструмента: линейка без делений и циркуль, которые имеют в геометрии идеальный, абстрактный характер. Так, всякая реальная линейка имеет конечную длину, линейка же в геометрических построениях считается бесконечной; раствор циркуля в геометрии не ограничен.

Предполагается, что линейка и циркуль могут быть применены для выполнения строго определенного набора основных, первичных построений.

Линейка предназначена для проведения прямых линий без ограничения их длины. Если дана точка, то с помощью линейки можно провести через эту точку одну или несколько прямых произвольным образом.

Линейка позволяет также провести прямую через любые две заданные точки. Заметим, что в плоскости или на уже проведенной в ней прямой всегда могут быть произвольным образом взяты точки в любом числе. Если построены две пересекающиеся прямые, то считается известной точка их пересечения.

С помощью циркуля считается возможным:

1) провести окружность с любым центром и произвольным радиусом, в том числе окружность, проходящую через заданную точку;

2) отложить на данной прямой от любой ее точки и в любом из двух возможных направлений отрезок (произвольный или равный любому заданному отрезку).

Если изображены окружности и прямые, то и все точки их пересечения, если таковые имеются, считаются известными. В связи с этим понятен смысл часто употребляемых выражений вроде «сделаем на прямой а засечку» тем или иным радиусом, с тем  иным центром. Это значит, что проводится некоторая окружность(часто изображаемая условно лишь небольшой дугой, ей принадлежащей) ради получения точки ее пересечения с данной прямой а.

12. Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола. Канонические уравнения кривых второго порядка.

Парабола– множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от фокуса, и директрисы. Расстояние между фокусом и директрисой называется параметром параболы и обозначается через р>0.

Свойства:

1.симметрична относительно ОХ; ОХ- ось симметрии

2.р > 0 => х > 0 ; расположена справа относительно оси ОУ

3.х=0 ; у = 0

4.при увеличении х, увеличивается |y|

5. y²= -2px(парабола слева относительно начала коорд.)

x²= 2py(парабола сверху относительно начала коорд.)

x²= -2py(парабола снизу относительно начала координат)

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до фокусов есть величина постоянная. Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы |MF₁– MF₂|=2a или MF₁– MF₂=±2a,

Свойства:

Симметрична относительно ох , оу и начала координат

2. Осью гиперболы называется прямая, соединяющая её фокусы.

Расстояние от начала координат до одного из фокусов гиперболы называют фокусным расстоянием гиперболы  .

Расстояние от начала координат до одной из вершин гиперболы называется большой или вещественной полуосью гиперболы  .

Расстояние от вершины гиперболы до асимптоты вдоль направления параллельного оси ординат называется малой или мнимой полуосью гиперболы  .

Отношение фокусного расстояния к большой полуоси гиперболы называется эксцентриситетом: ε = c/a. Эксцентриситет гиперболы всегда больше единицы.

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до фокусов есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Пусть М (х;у) – произвольная точка эллипса.

Т.к. MF₁+ MF₂= 2a

Т.к. 

То получаем 

Или 

Свойства:

1.Эллипс симметричен относительно ох, оу и точки О (0;0)

2.Точки A, B, C и D называются вершинами эллипса. Отрезок AC называется большой осью эллипса, отрезок BD – малой осью. Числа a и b называют полуосями эллипса. ТочкиF₁(-c;0) иF₂(c;0), гдеc=√a² -b² , называются фокусами эллипса. Величину ε = c/a называют эксцентриситетом эллипса.

Очевидно, для эллипса ε < 1. Поскольку |x|≤aто отсюда следует, что a – εx > 0. ПоэтомуF₁M=a+εx;F₂M=a-εx

3. Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большей полуоси.

2. Векторный анализ и аналитическая геометрия в пространстве

   1. Векторы в пространстве.

Определение. Геометрическим вектором или просто вектором называется направленный отрезок.

Если точки  и соответственно начало и конец направленного отрезка, то такой вектор обозначают .

Начало вектора называют точкой приложения вектора.

Длину вектора  называютмодулем вектора  и обозначают . Очевидно, .

Определение. Вектор, модуль которого равен единице, называютединичным вектором.

Определение. Векторы  и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых.

В этом случае пишут  .Если векторы  и  одинаково направлены, то пишут  ,a если векторы имеют противоположное направление, то  .

Определение. Единичный вектор, одинаково направленный с вектором  , называют ортом вектора   и обозначают его  .

Вектор  несет информацию о направлении вектора , а модуль - о длине этого вектора. В дальнейшем будет показано, что .

Определение. Вектор называетсянулевым, если начало и конец этого вектора совпадают.

Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.

Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Определение. Векторы  и  называются равными, тогда и только тогда когда они имеют равные модули и одинаковые направления, т.е.

В математике, как правило, изучают свободные векторы. Эти векторы определены с точностью до точки приложения.

2. Векторное произведение векторов, его свойства, физический и геометрический смысл.

ределение. Векторным произведением векторов   и   называется вектор   , удовлетворяющий следующим условиям:

1)   , где j - угол между векторами   и   ,

2) вектор   ортогонален векторам   и 

3)   ,   и   образуют правую тройку векторов.

Обозначается:   или   .

j

Свойства векторного произведения векторов:

1)   ;

2)   , если   ïï   или   = 0 или   = 0;

3) (m   )´   =   ´(m   ) = m(   ´   );

4)   ´(   +   ) =   ´   +   ´   ;

5) Если заданы векторы   (x_a, y_a, z_a) и   (x_b, y_b, z_b) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами   , то

 ´   = 

6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах   и   .

3. Смешанное произведение трех векторов, его свойства и геометрический смысл.

Смешанное произведение векторов — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c. Смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, составленной из этих векторов.

Смешанное произведение векторов a = {a_x; a_y; a_z}, b = {b_x; b_y; b_z} и c = {c_x; c_y; c_z} в декартовой системе координат можно вычислить, используя следующую формулу:

|A|=a1*b2*c3+a2*b3*c1+a3*b1*c2-a3*b2*c3-a1*b3*c2+a2*b1*c3

Свойства смешанного произведения векторов

Если смешанного произведения трех не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора компланарные.

a · [b × c] = b · (a · c) - c · (a · b)

a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = -a · [c × b] = -b · [a × c] = -c · [b × a]

a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 - тождество Якоби.

Геометрический смысл смешанного произведения. Модуль смешанного произведения трех векторов a, b и с равен объёму параллелепипеда, образованного этими векторами:

Vпарал = a · [b × c]

Геометрический смысл смешанного произведения. Объем пирамиды образованной тремя векторами a, b и с равен одной шестой части от модуля смешанного произведения этих векторов: Vпир = 1/6|a · [b × c]|

4. Уравнение плоскости.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве – это уравнение с тремя переменными x, y и z, которому удовлетворяют координаты любой точки заданной плоскости и не удовлетворяют координаты точек, лежащих вне данной плоскости.

Таким образом, уравнение плоскости обращается в тождество при подстановке в него координат любой точки плоскости. Если в уравнение плоскости подставить координаты точки, не лежащей в этой плоскости, то оно обратится в неверное равенство.

Уравнение   называется общим уравнением плоскости в пространстве. Если не придавать числам А, В, С и D конкретных значений, то общее уравнение плоскости называют уравнением плоскости в общем виде.

Следует заметить, что уравнение вида  , где   - некоторое действительное число, отличное от нуля, будет определять ту же самую плоскость, так как равенства   и  эквивалентны. К примеру, общие уравнения плоскости   и   задают одну и ту же плоскость, так как им удовлетворяют координаты одних и тех же точек трехмерного пространства.

Если все коэффициенты А, В, С и D в общем уравнении плоскости  отличны от нуля, то оно называется полным. В противном случае, общее уравнение плоскости называется неполным.

Неполными уравнениями задаются плоскости, параллельные координатным осям, проходящие через координатные оси, параллельные координатным плоскостям, перпендикулярные координатным плоскостям, совпадающие с координатными плоскостями, а также плоскости, проходящие через начало координат.

Например, плоскость   параллельна оси абсцисс и перпендикулярна координатной плоскости Oyz, уравнение z = 0 определяет координатную плоскость Oxy, а общее уравнение плоскости вида   соответствует плоскости, проходящей через начало координат.

Отметим также, что коэффициенты A, B и C в общем уравнении плоскости представляют собой координаты нормального вектора плоскости.

5. Уравнение прямой в пространстве.

Пусть в координатном пространстве 

OxyzOxyz

 (в прямоугольной системе координат) две плоскости заданы общими уравнениями

ρ1:ρ2:A1⋅x+B1⋅y+C1⋅z+D1=0;A2⋅x+B2⋅y+C2⋅z+D2=0,ρ1:A1⋅x+B1⋅y+C1⋅z+D1=0;ρ2:A2⋅x+B2⋅y+C2⋅z+D2=0,

в которых коэффициенты при неизвестных непропорциональны, т.е. 

rang(A1A2B1B2C1C2)=2rang(A1B1C1A2B2C2)=2

. Это условие означает, что плоскости 

ρ1ρ1

 и 

ρ2ρ2

пересекаются (см. условие (4.25)), поскольку их нормали 

n⃗ 1=A1i⃗ +B1j⃗ +C1k⃗ n→1=A1i→+B1j→+C1k→

 и 

n⃗ 2=A2i⃗ +B2j⃗ +C2k⃗ n→2=A2i→+B2j→+C2k→

 неколлинеарны (рис.4.25). Тогда линия пересечения плоскостей описывается системой уравнений

{A1⋅x+D1⋅y+C1⋅z+D1=0,A2⋅x+D2⋅y+C2⋅z+D2=0.{A1⋅x+D1⋅y+C1⋅z+D1=0,A2⋅x+D2⋅y+C2⋅z+D2=0.

Система (4.31) называется общим уравнением прямой в пространстве.

6. Уравнение сферы.

7. Основные задачи на плоскость, сферу и прямую в пространстве.