Критерий Колмогорова

На практике кроме критерия часто используют критерий Колмогорова, в котором в качестве меры расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями рассматривается максимальное значение абсолютной величины разности между эмпирической функцией распределения и соответствующей ей теоретической функцией распределения:

, (1.51)

называемой статистикой критерия Колмогорова.

Критерий Колмогорова в своем классическом виде является более мощным, чем критерий Пирсона и может быть использован для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения любому теоретическому непрерывному распределению с заранее известными параметрами.

Доказано, что какой бы ни была функция распределения непрерывной случайной величины , при неограниченном увеличении числа наблюдений вероятность неравенства стремится к пределу:

. (1.52)

Задавая уровень значимости , из соотношения (1.53):

, (1.53)

можно определить соответствующее критическое значение .

При этом график функции K() имеет следующий вид:

Значения K() находят, пользуясь данными табл. 1.10.

Таблица 1.10

	K()		K ()
0,30	1,0000	1,10	0,1777
0,35	0,9997	1,20	0,1122
0,40	0,9972	1,30	0,681
0,45	0,9874	1,40	0,397
0,50	0,9639	1,50	0,222
0,55	0,9228	1,60	0,120
0,60	0,8643	1,70	0,052
0,70	0,7112	1,90	0,015
0,75	0,6272	2,00	0,007
0,80	0,5441	2,10	0,0003
0,85	0,4653	2,20	0,0001
0,90	0,3927	2,30	0,0001
0,95	0,3275	2,40	0,0000
1,00	0,2700	2,50	0,0000

Если найденному значению соответствует очень малая вероятность, то есть , то расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями нельзя считать случайным. Следовательно, рассматриваемая выборка не подчиняется нормальному закону распределения.

Если вероятность , то расхождение между частотами может быть случайным, и распределения хорошо соответствуют одно другому.

Схема применения критерия Колмогорова следующая:

1. Строят эмпирическую функцию распределения и предполагаемую теоретическую функцию распределения .

2. Определяют меру расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями с использованием формулы (1.54) и вычисляют величину :

. (1.54)

где – максимум абсолютного значения разности между накопленными эмпирическими частотами М и накопленными теоретическими частотами ,

n – объем выборки.

3. Если вычисленное значение больше критического _, определенного при уровне значимости , то нулевая гипотеза о том, что случайная величина имеет заданный закон распределения, отвергается (односторонний критерий). Если же , то считают, что гипотеза не противоречит опытным данным и принимается.

Замечание:

Можно отметить, что решение подобных задач можно было бы найти с помощью критерия . Потенциальное преимущества критерия Колмогорова в том, что он не требует группирования данных (с неизбежной потерей информации), а дает возможность рассматривать индивидуальные наблюдаемые значения. Этот критерий можно успешно применять для малых выборок. Считается, что его мощность выше, чем у критерия .

Приближенные критерии нормальности распределения

Приближенный метод проверки нормальности распределения основан на вычислении по результатам измерения эмпирических оценок коэффициентов асимметрии, эксцесса и их дисперсий.

В этом случае названные статистики вычисляют по формулам (1.36) и (1.37). Затем вычисляют их средние квадратические отклонения по формулам:

, (1.55)

. (1.56)

Если выборочные асимметрия и эксцесс удовлетворяют неравенствам:

, (1.57)

то гипотеза о нормальности наблюдаемого распределения принимается.

Если и заметно больше своих средних квадратических отклонений, то выборочная совокупность не будет распределена по нормальному закону.

Проверку выборочной совокупности на нормальное распределение можно производить, используя статистики , и . Сначала вычисляют статистику по формуле:

. (1.58)

Затем при заданном уровне значимости и числе степеней свободы (используют в расчетах две статистики и ) по приложению 4 для распределения Пирсона находят .

Если выполняется неравенство , то гипотезу о нормальном распределении выборочной совокупности принимают. В противном случае, т.е. когда , гипотезу о нормальном распределении выборки отвергают.