2.3. Проверка гипотез о законе распределения

В большинстве случаев закон распределения изучаемой случайной величины Х неизвестен, но существуют основания предполагать, что он имеет вполне определенный вид: нормальный, экспоненциальный или какой-либо другой.

В качестве статистического критерия проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения используют критерий согласия, который используют для проверки согласия предполагаемого вида распределения с опытными данными на основе исследуемой выборки. В статистике используют различные критерии согласия: Пирсона, Колмогорова, Фишера и др.

Критерий Пирсона

Наиболее часто при проверке гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения пользуются критерием Пирсона.

Пусть задана выборка из генеральной совокупности в виде статистического интервального ряда.

Необходимо проверить нулевую гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону, пользуясь критерием Пирсона.

Правило проверки:

1. Вычисляют и (формулы 1.10-1.12, 1.16).

2. Находят теоретические частоты .

Вычислить теоретические частоты можно по формуле:

, (1.45)

где – объем выборки,

– шаг,

; (1.46)

(1.47)

- функция Гаусса, значение которой в точке , находится по таблице (приложение 3).

(1.48)

- вероятность попадания значений случайной величины в -й интервал.

Для определения составляют вспомогательную таблицу (табл. 1.8).

Таблица 1.8

1

3. Сравнивают эмпирические ( ) и теоретические ( ) частоты с использованием критерия Пирсона по алгоритму:

1) составляется расчетная табл.1.9, из которой определяется наблюдаемое значение критерия по формуле:

. (1.49)

Таблица 1.9

1

2) Определяется число степеней свободы на основании формулы:

_, (1.50)

где – число интервалов;

– число параметров предполагаемого распределения.

Для нормального распределения число степеней свободы равно в виду того, что - нормальный закон распределения характеризуется двумя параметрами и .

4. По данным таблицы критических точек (квантилей) распределение (приложение 4) по заданному уровню значимости и числу степеней свободы определяют правосторонней критической области.

Когда то отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности оснований не существует.

В случае если – гипотеза отвергается.

Замечание:

1) Объем изучаемой выборки должен быть достаточно большой .

2) Малочисленные частоты при следует объединять, в том числе и соответствующие им теоретические частоты.

В случае, когда производилось объединение частот при определении числа степеней свободы по формуле в качестве необходимо принимать число интервалов, оставшихся после объединения частот.