1.4. Интервальные (доверительные) оценки параметров распределения

В случае, когда объем выборки небольшой ( ) точечная оценка может существенно отличаться от оцениваемого параметра и целесообразно использовать интервальные оценки. Интервальнойназывается оценка, определяемая двумя числами - концами интервала.

Допустим, найденная по данным изучаемой выборки величина служит оценкой неизвестного параметра . Оценка определяет тем точнее, чем меньше , то есть чем меньше в неравенстве . В виду того, что – случайная величина, то и разность будет случайной величиной. Следовательно, неравенство , при заданном может быть выполнена только с некоторой заданной вероятностью.

Доверительная вероятность (надежность) оценки параметра - это вероятность , с которой выполняется неравенство .

Обычно в практике статистики задается вероятность и определяется значение . Чаще всего надежность задается значениями от 0,95 и выше в зависимости от конкретно решаемой задачи. Тогда неравенство можно быть записано .

Доверительным интервалом называется интервал , покрывающий неизвестный параметр с заданной вероятностью (надежностью) .

Пусть случайная величина имеет нормальное распределение: , при этом значение неизвестно, а вероятность задана.

В случае, когда неизвестна используют оценку .

Следует ввести случайную величину:

, (1.41)

где – исправленное среднее квадратическое отклонение случайной величины , определенное по выборке:

. (1.42)

Случайная величина имеет распределение Стьюдента со степенью свободы, равной . Тогда доверительный интервал для оценки будет иметь следующий вид:

, (1.43)

где – выборочная средняя;

– исправленное среднее квадратическое отклонение;

– находится по таблице квантилей распределения Стьюдента (приложение 1) в зависимости от числа степеней свободы и доверительной надежности .

Тогда вид доверительного интервала для оценки нормального распределения будет иметь следующий вид:

при ;

(1.44)

при ;

где – исправленное среднее квадратическое отклонение;

находится по таблице значений (приложение 2) по заданным значениям n и γ.

Контрольные вопросы

1. Что называется статистической совокупностью?

2. Что понимается под генеральной и выборочной совокупностью?

3. Что называется вариационным рядом?

4. Сформулировать алгоритм построения непрерывного вариационного ряда.

5. Графическое изображение дискретного и непрерывного вариационных рядов, в чем отличия графиков?

6. Что называется эмпирической функцией распределения? Сформулировать ее свойства и рассказать о ее назначении.

7. По каким формулам находятся выборочные средние статистического распределения?

8. Дать определение выборочной дисперсии и формулы для вычисления дисперсии для простой и взвешенной выборки.

9. Записать формулы для вычисления исправленной дисперсии и рассказать для чего она вводится.

10. Что называется модой и медианой вариационного ряда, особенности нахождения медианы при различном объеме выборки?

11. Дать определения асимметрии и эксцесса статистического распределения и рассказать об их назначении.

12. Записать доверительные интервалы для оценки генеральных математического ожидания и среднего квадратического отклонения.