Лабораторная работа № 4. Изучение модели нелинейной регрессии
Цель работы: овладеть способами выбора уравнения нелинейной регрессии, выработать умения и навык расчета параметров уравнения.
Задача. Зависимость между ростом X (тыс. руб.) производительности труда на одного работающего и выпуском Y (тыс. руб.) товарной продукции ремонтного цеха машиностроительного завода характеризуется следующими данными (табл.2.18):
Таблица 2.18
X |
1,5 |
2,9 |
3,0 |
3,1 |
3,2 |
3,4 |
3,5 |
3,6 |
4,2 |
4,3 |
4,8 |
Y |
580 |
618 |
658 |
670 |
662 |
699 |
717 |
775 |
786 |
790 |
795 |
Содержание работы: необходимо на основании данных:
Построить корреляционное поле и по расположению точек определить вид функции регрессии.
Записать необходимое уравнение регрессии.
Между рассматриваемыми признаками X и Y определить тесноту связи.
Найденное уравнение регрессии проверить на адекватность.
Изобразить полученную линию регрессии графически.
Выполнение работы
В декартовой системе координат отметим все корреляционные точки и получим корреляционное поле.
Рис. 2.8 Корреляционное поле
Если внимательно посмотреть на данное корреляционное поле, то можно предположить, что через данные точки можно провести ветвь гиперболы. А это значит, что, уравнение регрессии необходимо искать в виде или . Что бы определиться с выбором вида данного уравнения, необходимо проверить следующие условия, представленные в таблице (табл. 1.14).
Рассмотрим формулу . Для нее необходимо проверить следующее равенство: . После вычисления получим:
.
Так как значения 2,28 в теоретических данных нет, то его необходимо найти. Применим для этого линейное интерполирование (ф.1.76):
.
.
Теперь
необходимо вычислить отклонения
и
и проверить выполнение равенства
.
Отклонение
.
Для формулы
находим:
.
Так
же как и в предыдущем случае находим
значение
применяя линейное интерполирование
(ф.1.76):
.
Перейдем
к вычислению отклонения
:
.
Сравним полученные значения. Так как
,
то по методу необходимых условий
необходимо выбирать следующую формулу:
.
Используем
теперь метод конечных разностей и
произведем выбор одной из выше
рассматриваемых формул. Пусть
.
Необходимо свести эту зависимость к
линейной
.
Применим следующие преобразования:
,
(табл. 1.14). Вычисляем отношения
.
Составляем расчетную табл. 2.19.
Рассмотрим
теперь зависимость
.
Пользуясь теоретическим материалом
(табл. 1.14), сводим нелинейную зависимость
к линейной
,
где
,
.Для
нахождения отношений
составляем расчетную табл. 2.20.
Таблица 2.19
|
1,5 |
2,9 |
3 |
3,1 |
3,2 |
3,4 |
3,5 |
3,6 |
4,2 |
4,3 |
4,8 |
|
580 |
618 |
658 |
670 |
662 |
699 |
717 |
775 |
786 |
790 |
795 |
|
870 |
1792,2 |
1974 |
2077 |
2118,4 |
2376,6 |
2509,5 |
2790 |
3301,2 |
3397 |
3816 |
|
922,2 |
181,8 |
103 |
41,4 |
258,2 |
132,9 |
280,5 |
511,2 |
95,8 |
419 |
|
|
1,4 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
0,6 |
0,1 |
0,5 |
|
Y/X |
658,7 |
1818 |
1030 |
414 |
1291 |
1329 |
2805 |
852 |
958 |
838 |
|
Таблица 2.20
X = x |
1,5 |
2,9 |
3 |
3,1 |
3,2 |
3,4 |
3,5 |
3,6 |
4,2 |
4,3 |
4,8 |
y |
580 |
618 |
658 |
670 |
662 |
699 |
717 |
775 |
786 |
790 |
795 |
Y = 1/y |
0,0017 |
0,0016 |
0,0015 |
0,0015 |
0,0015 |
0,0014 |
0,0014 |
0,0013 |
0,0013 |
0,0013 |
0,0013 |
|
-0,000106 |
-0,0001 |
0 |
0 |
-0,0001 |
0 |
-0,0001 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1,4 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,2 |
0,1 |
0,1 |
0,6 |
0,1 |
0,5 |
|
Y/X |
-0,00008 |
-0,00100 |
0 |
0 |
-0,0005 |
0,00000 |
-0,00100 |
0 |
0 |
0 |
|
Отношения
,
полученные для формулы
,
мало отличаются друг от друга, чем для
формулы
.
Поэтому по методу конечных разностей
в качестве лучшей выбираем формулу
.
К такому же выводу мы пришли, применяя
метод необходимых условий. Итак,
зависимость между ростом X
(тыс. руб.) производительности труда на
одного работающего и выпуском Y
(тыс. руб.) товарной продукции ремонтного
цеха машиностроительного завода
выражается формулой
.
Оценки
и
неизвестных параметров истинного
уравнения регрессии находим, решая
систему нормальных уравнений:
Для вычисления сумм, входящих в систему, составляем расчетную табл. 2.21.
Таблица 2.21
х |
|
|
|
|
1,5 |
580 |
0,0017 |
0,0026 |
2,25 |
2,9 |
618 |
0,0016 |
0,0047 |
8,41 |
3 |
658 |
0,0015 |
0,0046 |
9 |
3,1 |
670 |
0,0015 |
0,0046 |
9,61 |
3,2 |
662 |
0,0015 |
0,0048 |
10,24 |
3,4 |
699 |
0,0014 |
0,0049 |
11,56 |
3,5 |
717 |
0,0014 |
0,0049 |
12,25 |
3,6 |
775 |
0,0013 |
0,0046 |
12,96 |
4,2 |
786 |
0,0013 |
0,0053 |
17,64 |
4,3 |
790 |
0,0013 |
0,0054 |
18,49 |
4,8 |
795 |
0,0013 |
0,0060 |
23,04 |
37,5 |
|
0,0158 |
0,0525 |
135,45 |
Составляем и решаем систему
Решением является точка (а0, а1) = (0,00204; -0,00018). Поэтому уравнение регрессии примет вид:
.
Оценим силу корреляционной связи между ростом X (тыс. руб.) производительности труда на одного работающего и выпуском Y (тыс. руб.) товарной продукции. Вычислим индекс корреляции по формуле (ф.1.77):
,
где
,
(так
как n=11>50). Для нахождения
и
составляем расчетную табл. 2.20.
Тогда
.
Связь между ростом производительности
труда на одного работающего и выпуском
товарной продукции сильная.
Таблица 2.20
|
|
|
|
|
1,1 |
25 |
19 |
36 |
91,2025 |
1,4 |
22,7 |
18 |
22,09 |
52,5625 |
1,7 |
22,1 |
17,2 |
24,01 |
44,2225 |
2,1 |
19,8 |
16,2 |
12,96 |
18,9225 |
2,6 |
17 |
15,1 |
3,61 |
2,4025 |
4,7 |
12,3 |
11,7 |
0,36 |
9,9225 |
6,1 |
10,7 |
10,2 |
0,25 |
22,5625 |
7,0 |
10 |
9,4 |
0,36 |
29,7025 |
10 |
8,2 |
7,5 |
0,49 |
52,5625 |
12,8 |
6,7 |
6,3 |
0,16 |
76,5625 |
|
|
|
100,29 |
400,0625 |
Проверяем адекватность полученного уравнения регрессии по критерию Фишера — Снедекора (ф.1.78). Находим статистику:
.
При
уровне значимости
и числах степеней свободы
,
по таблице критических точек распределения
Фишера — Снедекора (приложение 7) находим
.
Так как
,
то модель адекватна. Следовательно, зависимость роста производительности труда на одного работающего и выпуском товарной продукции описывается уравнением .
Построение данной кривой в корреляционном поле предлагается выполнить самостоятельно.