Выполнение работы

Пусть признак X характеризует изменение забойного давления, а признак Yизменение объема притока нефти. Используя данные таблицы, строим корреляционное поле.

Рис. 2.6. Корреляционное поле

Проведя линию тренда (черная линия), видим, что число точек, расположенных над и под ней, практически одинаково, причем расстояния этих точек до линии тренда одинаковые. Это дает основание предположить наличие линейной зависимости между признаками Xи Y. Для подтверждения этой гипотезы перейдем от данного распределения к новому, найдя для каждого значения признак X условное среднее признака Y по формуле:

.

При , .

При , .

При ,

При ,

При ,

При ,

При ,

При , .

При , .

На корреляционном поле строим точки с координатами (рис. 2.7.).

Рис. 2.7. Корреляционное поле

Из рис. 2.7. видно, что отклонения точек от построенной прямой незначительны. Следовательно, связь между признаками и может носить линейный характер. Составим уравнения линий регрессий y на x по методу наименьших квадратов и через коэффициент линейной корреляции .

Применим метод наименьших квадратов к нахождению коэффициентов и уравнения линейной регрессии . Решаем систему нормальных уравнений (ф.1.59, 1.60):

Для нахождения сумм, входящих в систему, составляем табл. 2.13.

Таблица 2.13

x y	125	135	145	155	165	175	185	195	205	ny	nyy
11	3	4								7	77
12		5	4							9	108
13			3	5						8	104
14			5	6						11	154
15				2	18					20	300
16					4	14				18	288
17						7	2			9	153
18							4	6		10	180
19								2	6	8	152
nx	3	9	12	13	22	21	6	8	6	100	1516
nxx	375	1215	1740	2015	3630	3675	1110	1560	1230	16550
nxx2	46875	164025	252300	312325	598950	643125	205350	304200	252150	2779300
nxyxy	4125	14040	22765	27745	55110	60025	19610	28470	23370	255260

Полученная из табл. 2.13 система

имеет решение (а₀, а₁) = (-2,7645; 0,108). Тогда уравнение линейной регрессии запишется в виде:

Найдем уравнение линейной регрессии y на x по формуле, используя коэффициент линейной корреляции:

.

Так как данные выборки для признаков X и Y заданы в виде корреляционной таблицы и объем выборки , то для нахождения величин, входящих в уравнение регрессии, переходим к вспомогательному распределению с условными вариантами и . По корреляционной табл. 2.12 находим наибольшую частоту совместного появления признаков X и Y: . Тогда , , , . Составляем корреляционную табл. 2.14 в условных вариантах.

Таблица 2.14

u v	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	nv
-4	3	4								7
-3		5	4							9
-2			3	5						8
-1			5	6						11
0				2	18					20
1					4	14				18
2						7	2			9
3							4	6		10
4								2	6	8
nu	3	9	12	13	22	21	6	8	6	100

По таблице находим:

,

,

,

.

Тогда

,

.

Для нахождения суммы составляем табл. 2.15.

Таблица 2.15

u v	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	nv
-4	16	12								96
-3		9	6							69
-2			4	2						22
-1			2	1						16
0				0						0
1						1				14
2						2	4			22
3							6	9		78
4								12	16	120
nx	48	93	46	16	0	28	32	78	96	437

Тогда, согласно формулам вычисления коэффициента корреляции находим:

,

,

,

,

.

Отсюда следуют уравнение линии регрессии y на х:

,

или

,

и уравнение линии регрессии x на y:

,

или

.

Проверяем тесноту связи между признаками X и Y. Для этого, используя критерий Стьюдента, вычисляем статистику:

.

При уровне значимости и числе степеней свободы находим по таблице распределения Стьюдента . Так как , то выборочный коэффициент линейной корреляции значимо отличается от нуля. Следовательно, можно считать, что изменение притока нефти и изменение забойного давления связаны линейной корреляционной зависимостью. Дадим интерпретацию, например, уравнению регрессии y на x. Из уравнения регрессии видно, что при изменении забойного давления, например, на 10 атм на забое, изменение притока составит . Это результат воздействия отклонений при изменении забойного давления. Фактически изменение притока может составить , что является результатом воздействия неучтенных в модели факторов, не зависящих от давления. Проверим полученное уравнение регрессии y на x на адекватность по критерию Фишера-Снедекора. Вычислим статистику:

.

где – остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов, определяемая по формуле:

,

где – сумма квадратов отклонений значений от средней , – сумма квадратов отклонений условных средних от средней .

Составим расчетные табл. 2.16 и 2.17. Находим . По условию , . Тогда

.

Таблица 2.16 11 -4,16 17,3056 12 -3,16 9,9856 13 -2,16 4,6656 14 -1,16 1,3456 15 -0,16 0,0256 16 0,84 0,7056 17 1,84 3,3856 18 2,84 8,0656 19 3,84 14,7456 11 -4,16 17,3056

Таблица 2.17 10,543 -4,617 21,316689 11,683 -3,477 12,089529 12,823 -2,337 5,461569 13,963 -1,197 1,432809 15,103 -0,057 0,003249 16,243 1,083 1,172889 17,383 2,223 4,941729 18,523 3,363 11,309769 19,663 4,503 20,277009

При уровне значимости и числах степеней свободы , по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора находим . Так как , то модель линейной регрессии согласуется с опытными данными.