Функции (t)

Для перехода от выражения (6.54) к дискретному преобразова­нию Фурье (ДПФ) значения спектра вычисляются для диск­рет­ных значений частоты

.

Перепишем выражение (6.52) в виде

(6.56)

где .

Из сравнения выражений (6.54) и (6.56) видно, что ДН АР сов­па­дает с выражением для спектра дискретизированных сигна­лов (или ДПФ) [6,15] с точностью до постоянного множителя N d. Та­ким об­разом, ДН АР, представленная как функция обобщенной уг­ло­вой переменной есть в рассматриваемой постановке задачи ДПФ от распределения коэффициентов передачи в каналах АР. В об­щем случае при произвольном виде функции K(nd), которая может быть представлена как

K(nd) = K(S) (S – nd), (6.57)

где K(S) – непрерывная функция распределения коэффициен­тов передачи по апертуре,

(6.58)

Модуль характеризует множитель АР, т. е. ДН. Как видно из (6.58), с точностью до известного постоянного мно­жителя есть ДПФ от распределения коэффициентов передачи K(nd).

В рассматриваемом случае K(nd) = 1 при –(N – 1)/2 < < n < (N – 1)/2 (прямоугольное окно) и ДН имеет вид, при­веден­ный на рис. 6.22, и носит периодический характер. Сосед­ние диф­ракционные лепестки возникают при значениях углов и , удовлетворяющих условию

.

Приближенно формулу (6.52) можно представить в виде зави­симости типа , т. е.

(6.59)

где a = N d – эффективный размер апертуры.

Величина a больше расстояния между центрами элементов ре­шет­ки на d/2 в обе стороны за пределы крайних элементов (см. рис. 6.18).

Рис. 6.22. Диаграмма направленности эквидистантной линейной АР

В отличие от множителя решетки (6.52) ДН вида (6.59) имеет всего один главный максимум и является непериодической функ­цией обобщенной угловой переменной .

Формула (6.59) представляет собой преобразование Фурье не­прерывного распределения постоянной по величине чувствитель­ности по апертуре антенны (непрерывный раскрыв). Применяя различные функции K(nd) распределения коэффициентов переда­чи линейной АР с дискретным раскрывом, можно управлять по­ложением и уровнем боковых лепестков в ДН АР.

На основании изложенного ДН АР с дискретным раскрывом мож­но анализировать, исследуя частотные спектры различных вре­менных окон. Причем здесь можно воспользоваться результа­тами, приведенными в литературе по радиотехническим цепям и сигналам, в которой исследуются спектральные представления раз­личных функций времени, например [20].

Рассмотрим четыре различных временных окна, приведенных на рис. 6.23, спектры которых как функции частоты могут быть вычислены прямым методом, результаты вычислений приведены на рис. 6.24. Прямоугольный импульс X₁(t) и треугольный им­пульс X₂(t) имеют спектральные “хвосты”, спадающие со скоро­стями соответственно 6 дБ/октава (как f ^–1) и 12 дБ/октава (как f ^–2). При одинаковых значениях T_c треугольный импульс имеет не­сколько меньшую эффективную длительность, следова­тель­но, ширина главного максимума спектра X₂(f) больше, чем эта же ха­рактеристика спектра X₁(f).

Рис. 6.23. Временные окна

Сигнал X₃(t) носит название приподнятого косинусоидального импульса (или окна Ханна). “Хвосты” его преобразования Фурье спадают со скоростью 18 дБ/октава, так как вторая производная X₃(t) интегрируема в квадрате, но разрывна [4]. Поскольку сигнал X₃(t) имеет еще меньшую эффективную длительность, его спектр X₃(f) имеет большую ширину. Четвертый импульс X₄(t), называе­мый импульсом Хэмминга, представляет собой комбинацию с со­ответствующими весовыми коэффициентами сигналов X₁(t) и X₃(t). Подбором весовых коэффициентов удается снизить уровень боковых лепестков спектра X ₄(f), непосредственно примыкающих к основному лепестку, но за это приходится платить снижением скорости убывания “хвостов” в спектре. Так как функция X ₄(t) име­ет разрывы, то “хвосты” спектра X ₄(f) должны убывать как f ^–1. В рассматриваемом случае весовые коэффициенты в выраже­нии для сигнала X ₄(f) выбирались из условия минимизации мак­симума уровня бокового лепестка, ближайшего к основному.

Актуальной в ближней локации является проблема выбора оп­ти­мальной функции распределения K(nd) коэффициентов чувст­ви­тельности АР, обеспечивающей максимум отношения сиг­нал/помеха при работе на фоне распределенной (подстилающей) поверхности.

Рис.6.24. Спектры различных временных окон

Отклонение ДН АР на угол можно обеспечить путем диск­рет­­ного изменения фазы сигнала в фазовращателях таким обра­зом, чтобы разность фаз между соседними элементами составляла .

В этом случае для анализа ДН АР в формулах (6.50), (6.52), (6.56), (6.58), (6.59) обобщенная угловая переменная должна быть записана в виде

(6.60)

Для линейной эквидистантной фазированной антенной ре­шетки выражение (6.52) может быть переписано в виде

(6.61)

В реальных системах сканирование главным максимумом диа­г­раммы направленности необходимо проводить в двух взаимно пер­пендикулярных плоскостях, поэтому применяются плоскост­ные решетки [22], что значительно усложняет приемную часть пе­ленгатора.

Как было показано выше, ДН ФАР с эффективным размером апертуры a = N d образуется за счет интерференции сигналов с выходов приемных элементов при их суммировании.

По аналогии (см. рис. 6.18) рассмотрим эквидистант­ную линейную ФАР с апертурой a и приемными элементами, име­ющими функции направленности, равные единице, к выходу каждого приемного элемента подключен усилитель с коэффици­ентом усиления K_i и фазовращатель, осуществляющий сдвиг фазы сигнала на угол _i . Тогда общая аналитическая зависимость сиг­нала на выходе i–го канала от точечного источника, нахо­дя­щегося в бесконечности (в дальней зоне) под углом  от нормали к апер­ту­ре ФАР, может быть представлена в виде

(6.62)

где U_i – амплитуда сигнала на выходе приемного элемента; K_i – ко­эффициент передачи i–го канала; ₀ – частота прини­ма­е­мого сигнала; – запаздывание по фазе сигнала в i–м канале, относительно ну­левого канала; – компенсирующий сдвиг по фазе в i–м канале при нак­ло­не главного максимума ДН ФАР под углом от нормали к апертуре ФАР;  – длина волны.

Для пространственно–узкополосного сигнала и приемных эле­ментов с одинаковой чувствительностью амплитуды сигналов во всех каналах будут одинаковыми U_i = U.

Представим сигнал (6.62) в виде

(6.63)

При аддитивной обработке сигналов в ФАР осуществляется сум­мирование сигналов с выходов каналов. С учетом выражения (6.63) суммарный сигнал на выходе ФАР с аддитивной обработ­кой будет

(6.64)

Введем обозначения

(6.65)

Тогда выражение (6.64) с учетом (6.65) можно представить в виде

(6.23)

где – коэффициент, характеризующий ненормированный множитель решетки (в рассматриваемом случае ДН ФАР) и на основании зависимостей (6.21)–(6.23)

(6.67)

где ; .

Таким образом, результирующий ненормированный множи­тель решетки определяется коэффициентами передачи K _i каналов и разностями фаз в каналах

и .

Используя выражение (6.67), можно проанализировать влияние точности установки коэффициентов передачи и фазовых сдвигов в каналах на множитель ФАР (ДН).

Рассмотрим случай, когда K _i = K = const. Для упрощения даль­­нейших выкладок положим K = 1, тогда выражение (6.24) пере­пишется в виде

(6.68)

Максимальное значение выражения (6.68) получается при

и .

где – число сочетаний из N элементов по два

(6.69)

Тогда множитель ФАР (в рассматриваемом случае ДН) с адди­тивной обработкой сигналов может быть представлен в виде

(6.70)

Из формулы (6.68) видно, что при фиксированном угле мно­жи­тель решетки определяется разностями фаз сигналов в ка­налах при всех сочетаниях отношений – .

Из выражения (6.67) следует, что соответст­ву­ю­щим выбором коэф­фициентов передачи сигналов в каналах ФАР возможно управ­лять видом ДН ФАР, а точнее, распределением уровней боковых лепестков.

Из выражения (6.68) видно, что линейную ФАР возможно про­редить, выбрав такое расположение приемных элементов, при котором сохранились бы все соотношения , т. е. при i – k = = 1, 2, ..., N – 1, присутствующие в непрореженной ФАР. Нап­ри­мер, при прореживании 20–элементной ФАР минимальное число эле­ментов, удовлетворяющее условию наличия всех соотношений , составляет восемь.

Рис. 6.25. Расположение приемных элементов в непрореженной (а) и прореженной ФАР (б) при d/ = 1 и эф­фек­­тивной апертуре a = N  = 20 .

На рис. 6.15 приведено расположение приемных элементов в непрореженной (а) и прореженной ФАР (б) при  = 1 и эф­фек­­тивной апертуре

a = N  = 20 .

Рис.6.26. Множитель решетки непрореженной ФАР при d = , a = 20 .

Рис.6.27. Множитель решетки прореженной ФАР при d = , a = 20

На рис. 6.26–6.27 приведены множители решетки соответст­вен­но непрореженной и прореженной ФАР, рассчитанные по фор­мулам (6.68)–(6.70) при

и d = , a = 20 .

Как видно, при применении аддитивной обработки сигналов получить прореженную ФАР, полностью эквивалентную непро­реженной, невозможно.