4.3. Статистические характеристики случайных процессов в дискретно – аналоговых регрессионных системах

При исследовании рабочих характеристик дискретно-аналого­вых регрессионных систем принятия решений (П.4.2), обрабатываю­щих интервалы между нулями входных реализации, целесообразно сделать допущение о том, что на вход системы поступают реализа­ции стационарных узкополосных случайных процессов с заданной относительной шириной полосы энергетического спектра, которые в соответствии с алгоритмами (4.5) и (4.4) подвергаются нелиней­ным преобразованиям, и на входы накопителей (инерционных цепей) поступают импульсные случайные процессы .

В общем случае для реализации импульсного случайного процесса форма импульсов задается детерминированной функцией времени U(t), которая тождественно равна нулю вне интервала , а моменты их возникновения и окончания и амплитуды случайны (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Отрезок реализации импульсного случай­ного процесса

Моменты времени при n-четном соответствуют началу им­пульса, а при n-нечетном - концу. Тогда импульсы любой реали­зации случайного процесса получаются из U(t) умножением ее значений на величину , со сдвигом по оси времени на величину и делением на величину

Таким образом:

.

В литературе по статистической радиотехнике [14] рассмотрены энергетические спектры импульсных случайных процессов и полу­чены общие выражения с учетом взаимной корреляции случайных параметров импульсных процессов (амплитуд, длительностей и моментов возникновения импульсов). Однако выражения, удобные для расчетов, получены в предположении, что случайные парамет­ры взаимно независимы, а между однородными параметрами у различных импульсов существует корреляция.

При допущении об узкополосности случайных процессов на входе трактов импульсные случайные процессы на входе инерци­онной цепи (интегратора 11 рис.4.1) можно рассматривать как случайные процессы с детерминированными тактовыми интервалами, для ко­торых моменты появления любого n-го импульса реализации процесса могут быть представлены в виде

,

где Т– длина тактового интервала, ; - случайная величина с нулевым средним.

Обозначим: - среднее значение и дисперсию случайных амплитуд ; -коэффициент корреляции амплитуд n-го и j-го импульсов (р=п-j); –среднюю длительность и дисперсию длительности импульсов и - коэффициент корреляции дли­тельностей n-го и j-го импульсов.

Энергетический спектр последовательности некоррелированных равноотстоящих прямоугольных импульсов с постоянной длитель­ностью будет

. (4.6)

Как видно из уравнения (4.6), энергетический спектр импульс­ного случайного процесса слагается из непрерывной и дискретной части, состоящей из дискретных линий на частотах, кратных частоте повторения импульсов.

Для импульсного случайного процесса с импульсами заданной формы, имеющими одинаковую длительность и случайные кор­релированные амплитуды, получим

, (4.7)

где

. (4.8)

Для прямоугольных импульсов

. (4.9)

Если сходится, то предел в правой части уравнения (4.8) существует и определяется по формуле

.

Тогда непрерывная и дискретная части спектральной плотно­сти равенства (4.7) будут иметь вид:

; (4.10)

. (4.11)

Для импульсного случайного процесса с импульсами заданной формы, имеющими одинаковую амплитуду и случайные коррелированные длительности, непрерывная и дискретная части спект­ральной плотности будут иметь вид:

; (4.12)

. (4.13)

Из уравнений (4.7) – (4.13) видно, что спектральная плотность импульсного случайного процесса зависит только от корреляцион­ных функций случайных амплитуд и длительностей и не зависит от вероятностных характеристик положения импульсов. В интересую­щих на практике случаях регрессионная система должна прини­мать решение по количеству периодов входного сигнала 5... 10, тогда постоянная времени инерционного звена (см. рис. 4.1) должна быть

. (4.14)

Поэтому при расчетах статистических характеристик импульс­ных процессов на входе инерционной цепи системы на основании выражения (4.14) можно считать, что спектральная плот­ность процесса на входе инерционной цепи равна S(0) и постоянна в рассматриваемой полосе, т. е.

.

Тогда спектральные плотности непрерывной и дискретной частей при для импульсного процесса со случайными ампли­тудами и длительностями импульсов [14]:

; (4.15)

. (4.16)

На основании алгоритма работы системы (4.4 ) при допущении, что на вход системы поступает стационарный узкополосный случайный процесс с заданной относительной шириной полосы энергетического спектра, на вход инерционной цепи (см. рис.4.1 ) поступает импульсный случайный процесс с постоянной амплитудой и случайными длительностями прямоугольных импульсов.

Для узкополосного случайного процесса на входе, импульсный случайный процесс можно рассматривать как случайный процесс с детерминированными тактовыми интервалами при

.

При обработке в системе более 5...10 периодов сигнала и по­стоянной времени инерционной цепи

спектральная плотность процесса на входе инерционной цепи будет состоять из непрерывной и дискретной частей и, кроме того,

.

При из равенств (4.12) и (4.13) получим

; (4.17)

.

Для прямоугольных импульсов из уравнения (4.9) следует, что . Тогда среднее значение импульсного процесса на выходе инерционной цепи с комплексным коэффициен­том передачи будет

.

При

. (4.18)

Среднеквадратическое значение случайной составляющей про­цесса на выходе инерционной цепи при будет

. (4.19)

Как видно из формул (4.18) и (4.19), дальнейший расчет статистических характеристик процесса на входе порогового устройства сводится к определению статистических характеристик импульсного случайного процесса: .

Из алгоритма работы системы (4.2) и (4.4) следует, что длительность i-го импульса случайного процесса при

, (4.20)

где - длительность интервалов между нулями узкополосного стационарного случайного процесса.

Обозначим через случайную величину

.

Математическое ожидание , равно

,

так как для узкополосного стационарного случайного процесса

.

Тогда

. (4.21)

Для нормального распределения вероятностей статистические характеристики можно вычислить, используя :

,

; ,

или

. (4.22)

Если входной процесс представляет собой гармоничес­кий сигнал ( =0), для которого

,

; ,

то ковариационную функцию длительностей импульсного процесса можно представить в виде

. (4.23)

Тогда

. (4.24)

На основании алгоритма работы (4.4) и (4.18) среднее значе­ние процесса на входе порогового устройства можно представить в виде

.

С учетом равенства (4.22)

. (4.25)

На рис.4.4 представлены зависимости математического ожидания в дискретно-аналоговой системе от а и К при =1 для процесса на входе с гауссовым энергетическим спектром.

При обработке N периодов входной реализации и постоянной времени инерционной цепи на входе порогового устройства на основании уравнений (4.19) и (4.21) среднеквадратическое значение процесса на входе порогового устройства представим в виде

. (4.26)

Рис. 4.4. Зависимости математического ожидания на входе порогового устройства при = 1 для процесса с гауссовым энергетическим спектром