Совместное обнаружение и распознавание сигналов. На входе системы на интервале времени принятия решения присут­ствует одна из реализаций:

, (1.3)

, (1.4)

. (1.5)

В случае реализации (1.3) СПР должна выдавать решение о наличии сигнала во входной реализации, а в случаях (1.4) и (1.5) – решение об отсутствии сигнала на входе.

Оценка сигналов (параметров). На вход СПР поступает реализация

.

СПР должна определить, какое значение принял сигнал (или его пара­метр) в наблюдаемой смеси , т.е. требуется оценить значе­ние сигнала (параметра). При простом воспроизведении дискретных па­раметров сигнала решения СПР имеют дискретные значения . При простом воспроизведении непрерывного сигнала решение СПР должно быть непрерывной функцией . При этом в случае точного воспроизведения или .

В некоторых случаях требуется не простое воспроизведение сообщения, которое несет сигнал , а воспроизведение с осуществлением не­которых дополнительных операций, например дифференцирования, инте­грирования, предсказания будущего закона изменения сообщения и т.д. В этих случаях при отсутствии помех должно выполняться условие

,

где – некоторый оператор, соответствующий требуемому пре­образованию.

Правило решения может быть регулярным или статисти­ческим.

При регулярных правилах каждой реализации смеси сигнала и шу­ма соответствует вполне определенное (с вероятностью, равной едини­це) решение , т.е. между реализацией и решением имеет­ся регулярная зависимость

. (1.6)

При статистических правилах решение связано с y не регу­лярной, а статистической зависимостью, т.е. при данном y из­вестно не решение , которое примет СПР, а лишь его вероятность. В этом случае правило решения обозначает вероятность принятия СПР решения при наличии на ее входе реа­лизации y . Если является непрерывной величиной, то многомерная плотность распределения вероятностей.

Если и в случае регулярного правила решения под понимать в целях универсальности плотность вероятности решения при данном y , то на основании (1.6) следует полагать

,

где – –функция от z.

1.3. Обобщенные критерии оптимальности

В ряде случаев выбор конкретного вида критерия оптимальности оказывается затруднительным. Поэтому чаще, важно знать, как влияет вид выбранного критерия оптимальности на структуру и характеристики СПР. Для этого удобны обобщенные критерии оптимальности, которые охватывают целые классы возможных частных критериев. Такой подход оказывается возможным при применении теории статистических решений. Теория статистических решений является развитием и обобщением мето­дов оценки параметров распределений.

Для нахождения оптимального правила решения следует выбирать количественную характеристику качества решения . Такой характеристикой в теории статистических решений является функ­ция потерь , назначающая потери, соответствующие каждой ком­бинации сообщения x и принятого решения .

При простом воспроизведении наиболее распространенной является квад­ратичная функция потерь вида

.

В общем случае функция потерь может иметь самый различный вид в зависимости от назначения СПР (обнаружение, распознавание, простое воспроизведение и т.п.) и предъявляемых к ней требований. Однако во всех случаях она должна характеризовать потери, связанные с данной комбинацией сообщения x и решения , т.е. чем менее благоприятна (в смысле назначения СПР) данная комбинация , тем больше должно быть соответствующее ей значение.

Сообщение x и решение являются случайными величинами (функциями времени), поэтому потеря также является случайной. Следовательно, качество СПР в теории статистических решений оценивается математическим ожиданием :

,

или

, (1.7)

где и - область всех возможных значений x и соответственно.

Величина R , называемая средней потерей, является мерой качества решений. Поэтому оптимальным (наилучшим) будет такое правило решения , которое обеспечивает минимальное значение R .

Правила решения , обеспечивающие минимум величины R , назы­ваются байесовскими правилами решения.

Если функция потерь не зависит от правила решения , то величина называется риском, а R средним риском. В дальнейшем мы будем рассматривать именно такие случаи и величину R будем называть средним риском. При этом оптимальным является такое правило решения , которое обеспечивает минимум среднего риска R. Как следует из сказанного выше, это правило принадлежит к классу байесовских правил решения.

Для практического применения выражение (1.7) следует преоб­разовать таким образом, чтобы заданные априорные распределения и правило решения входили в него в явном виде. Проведем это преобразование, полагая, что правило решения является регулярным, т.е. описывается регулярной зависимостью.

Учитывая, что из (1.7) получаем

.

Обозначив

, (1.8)

имеем

. (1.9)

Из выражений (1.8) и (1.9) следует, что является условным риском, определенным для данного значения сообщения x , а сред­ний риск может быть получен усреднением этого условного риска по всем возможным значениям сообщения x

При проектировании СПР часто неизвестны вероятности пере­даваемых сообщений, а известен лишь вид сообщений

Согласно (1.8) каждому сообщению можно поставить в соот­ветствие условный риск

. (1.10)

Таким образом СПР в рассматриваемом случае будет характеризоваться векторным показателем качества .