2. Постановка задачи принятия решений

Основной и наиболее важной проблемой при проектировании СПР является проблема помехоустойчивости, т.е. задача синтеза структур систем, осуществляющих обработку сигналов при наличии помех наилуч­шим (в соответствии с заданным критерием) способом.

В соответствии с теорией статистических решений задачу отыска­ния оптимальных структур систем формулируют следующим образом. На вход системы поступает смесь (не обязательно аддитивная) сигнала и шума т.е.

.

( здесь знак означает смесь сигнала и шума)

При аддитивных сигнале и шуме эта смесь является суммой:

.

При решении задачи в условиях априорной определенности плотности распределения вероятностей сигналов и помех известны.

Если же плотности распределения вероятностей или некоторые их пара­метры неизвестны, будем говорить о задачах статистического синтеза в условиях априорной неопределенности. Следует отметить, что при полном отсутствии априорных данных (т.е. когда о сигнале и помехах ничего неизвестно) решение задачи синтеза оптимальной системы не­возможно.

На практике всегда есть некоторые, пусть весьма ограниченные данные, основанные на предыдущем опыте, интуиции или на физической трактовке задачи.

Рассмотрим решение задачи в условиях априорной определенности.

Будем полагать, что статистические характеристики шума полностью известны, т.е. известен m–мерный закон распределения вероятнос­тей шума . Сигнал может быть представлен в виде

,

где неизвестные в месте приема параметры сигнала.

Эти параметры в течение времени наблюдения (0, Т) могут быть неиз­вестными постоянными величинами или неизвестными функциями времени: . Здесь x является полезным сообщением, на основании кото­рого системой принимается решение , а – паразитны­ми параметрами, т.е. параметрами, не содержащими никакой информации о сообщении x .

Неизвестные величины (или функции времени) рассматриваются на входе СПР как случайные величины (или случайные функции времени), имеющие известные априорные распределения вероят­ностей . В общем случае – многомерная плот­ность распределения вероятностей.

Так как паразитные параметры не содержат никакой информа­ции о сообщении x , то статистическая связь между этими парамет­рами и сообщением x отсутствует. Статистические характеристики сигнала и шума полагаются полностью известными, т.е. известно совместное распределение

.

Так как и считаются известными, то в принципе возможно определить распределение . Система принятия решений анализирует реализацию вектора в течение времени наблюдения (0, Т) и на основании этого анализа на выходе системы выдается решение . Операции, которые производятся в СПР над реализацией для образования , называются правилом решения или алгоритмом работы СПР.

Вид решения зависит от назначения системы. Рассмотрим раз­личные задачи, решаемые СПР.

Бинарное обнаружение сигналов. Пусть на входе системы на интервале времени принятия решения (0, т) присутствует одна из реализаций:

, (1.1)

. (1.2)

От системы требуются два взаимоисключающих ответа: в случае реализации (1.1) – ответ «да» о наличии сигнала во входной реализации, т.е. решение ; в случае (1.2) – ответ «нет» об отсутствии сигнала во входной реализации, т.е. решение . Такая формулировка задачи называется бинарным обнаружением сигнала на фоне шума (помехи).

Распознавание сигналов. На входе системы на интервале времени принятия решения (0, Т) присутствует одна из реализаций

,

,

где – реализация помехи.

В первом случае от СПР требуется ответ «да» о наличии сигнала во входной реализации, т.е. , во втором – ответ «нет» об отсутствии сигнала во входной реализации, т.е. . Такая форму­лировка задачи называется распознаванием сигнала от помехи и является частным случаем более общей зада­чи классификации (распознавания), когда на входе СПР – может присутствовать одна из реализаций

,

,

.

От системы требуется выдача решения о наличии во входной реализации сигнала .