Лекция 3. Матричные игры (продолжение)

Так как каждая из пары двойственных задач (1.4) и (1.5) имеет допустимое решение, то согласно теории двойственных задач линейного программирования обе эти задачи имеют некоторые оптимальные решения и при этом оптимальные значения целевых функций данных задач равны:

.

Покажем, что цена игры , а оптимальные смешанные стратегии игроков равны соответственно:

Действительно, пусть и – произвольные смешанные стратегии игроков, тогда

(1.6)

= (1.7)

(1.8)

Из (1.6) следует, что , из (1.7) следует, что , а из (1.8) следует, что одновременно

(так как )

и

(так как ),

Значит .

Итак, , , , поэтому

.

Таким образом, пара образует седловую точку данной игры в смешанных стратегиях, и – цена данной игры.

Если же в платежной матрице есть отрицательные элементы или нули, то можно добавить ко всем элементам матрицы одно и то же достаточно большое положительное число b, так чтобы все элементы матрицы были положительными.

Обозначим математическое ожидание выигрыша первого игрока в игре с платежной матрицей , а – математическое ожидание выигрыша первого игрока в игре с платежной матрицей .

При этом

,

игра с платежной матрицей имеет седловую точку в смешанных стратегиях:

или

,

откуда

,

т. е. игра с платежной матрицей также имеет седловую точку в смешанных стратегиях, а цена игры с матрицей равна

.

Пример 1.8. Требуется найти оптимальные смешанные стратегии в игре из примера 1.7, сведя эту игру к паре взаимно двойственных задач линейного программирования.

Решение. От платежной матрицы

путем добавления положительного числа перейдем к матрице,

все элементы которой положительны.

Сведем данную матричную игру к паре двойственных задач линейного программирования (согласно теореме 1.2):

,

, , , .

Решаем уравнения из первой системы уравнений первое и второе, так как третье и четвертое дает отрицательные значения х, получаем:

.

Так как выбрали в системе x первые два уравнения, то в системе y зануляются и .

.

Поскольку оптимальные решения этих задач равны и , оптимальные смешанные стратегии игроков

(

и

,

а цена игры

.

Приближенный метод решения матричных игр

Если точное решение матричной игры оказывается громоздким, можно ограничиться приближенным решением. В основе этого метода лежит предположение, что игроки выбирают свои стратегии в очередной партии, руководствуясь накапливающимся опытом уже сыгранных партий. Достоинство метода – его простота.

Пример 1.9. Найти приближенное решение матричной игры, смоделировав 10 партий:

Решение. Чтобы избавиться от дробей, умножим все элементы матрицы на 10. От этого оптимальные стратегии игроков не изменятся, а цена игры тоже умножится на 10.

Получим матрицу Составляем таблицу.

Номер партии	Игрок А					Игрок В					Приближенные значения цены
	Стратегия	Накопленный выигрыш при различных стратегиях игрока В				Стратегия		Накопленный выигрыш при различных стратегиях игрока А
		В1	В2	В3	А1			А2	А3	α	β	v = = (α + β)/2
1	А1	7	9	7	В1		7		9	7	7	9	8
2	А2	16	16	15	В3		14		17	15	15/2	17/2	8
3	А2	25	23	23	В2		23		24	23	23/3	24/3	47/6
4	А2	34	30	31	В2		32		31	31	30/4	32/4	62/8
5	А1	41	39	38	В3		39		39	39	38/5	39/5	77/10
6	А1	48	48	45	В3		46		47	47	45/6	47/6	92/12
7	А2	57	55	53	В3		53		55	55	53/7	55/7	108/14
8	А2	66	62	61	В3		61		63	63	61/8	63/8	124/16
9	А2	75	69	69	В2		70		70	71	69/9	71/9	140/18
10	А3	82	77	77	В2		79		77	79	7,7	7,9	7,8

Ниже описано как заполняется таблица.

Игрок А начинает со своей первой стратегии. Соответствующие выигрыши (первая строка матрицы) запишем в столбцы В₁, В₂, В₃ и определим среди них минимальный: min (7, 9, 7) = 7 (в случае, когда их несколько, берем тот, что расположен левее). Этот минимум выделим. Он соответствует стратегии В₁. Поэтому соответствующие выигрыши (первый столбец матрицы) запишем в столбцы А₁, А₂, А₃ и определим среди них максимальный: max (7, 9, 7) = 9 (в случае, когда их несколько, берем тот, что расположен левее). Этот максимум выделим. Он соответствует стратегии А₂. Поэтому во второй партии игрок А ответит стратегией А₂. Соответствующие выигрыши (вторая строка) надо прибавить к числам в столбцах В₁, В₂, В₃ предыдущей строки игрока А и определить минимальное среди полученных: min (16, 16, 15) = 15, что соответствует стратегии В₃. Поэтому соответствующие выигрыши (третий столбец) надо прибавить к числам в столбцах А₁, А₂, А₃ предыдущей строки игрока В и определить среди них максимальный: max (14, 17, 15) = 17, что соответствует стратегии А₂. И т.д.

Приближенное значение нижней цены игры в каждой партии α = (выделенное число в столбцах В₁, В₂, В₃)/(номер партии).

Приближенное значение верхней цены игры в каждой партии β = (выделенное число в столбцах А₁, А₂, А₃)/(номер партии).

После 10 партий v ≈ 7,8. Поэтому для исходной матрицы v ≈ 7,8/10 = 0,78.

p_i ≈ (число использования стратегии А_i)/(число партий).

q_i ≈ (число использования стратегии B_j)/(число партий).

Число использования стратегии А_i = число отмеченных элементов в столбце А_i.

Число использования стратегии В_j = число отмеченных элементов в столбце В_j.

После 10 партий p₁ ≈ 3/10, p₂ ≈ 6/10, p₃ ≈ 1/10 (за 10 партий игрок А 3 раза воспользовался стратегией А₁, 6 раз – стратегией А₂, 1 раз – стратегией А₃).

q₁ ≈ 1/10, q₂ ≈ 4/10, q₃ ≈ 5/10.