Решение игры

Приписав первому столбцу вероятность , а второму столбцу – вероятность , получим линейных зависимостей. Изобразим их графики.

Возьмем верхнюю огибающую, т.е. такую ломаную из отрезков построенных прямых, что вся картинка лежит ниже этой ломаной. Точка с наименьшей координатой дает нам (первая координата) и цену игры (вторая координата).

Пусть это точка пересечения i-й и j-й прямых. Тогда припишем i-й строке вероятность , а j-й строка вероятность . Всем остальным строкам припишем нулевые вероятности. Находим и .

Пример 1.8. Найти решение матричной игры

.

Припишем столбцам вероятности и соответственно:

Получим линейные зависимости (1), (2), (3).

Изобразим их графики. .

Возьмем верхнюю огибающую. Это ломаная ABCD. Точка В – это точка с наименьшей второй координатой на этой огибающей. Точка В – это точка пересечения прямых (1) и (2). Поэтому припишем первой строке вероятность p, а второй строке – вероятность 1 – p. Всем остальным строкам припишем нулевые вероятности. Найдем координаты точки В.

4 – 3q = 5q – 2, q = (вероятность применения игроком В своей первой стратегии), 1 – q = (вероятность применения игроком В своей второй стратегии). Все цифры игрок В делит на полноценные «четверки». Первые три цифры относятся к первой стратегии, а последняя – ко второй стратегии: первая стратегия (1, 2, 3, 5, 6, 7) и вторая стратегия (4, 8). Перед своим очередным ходом игрок А смотрит в таблицу случайных чисел. Если «выпадает» 4, 8, то он играет вторую стратегию. Цена игры v = w = . Цифры 0 и 9 игнорируются.

Найдем решение для игрока А: .

, то есть p = , 1 ‑ p = . Для игрока А p^* = ( для игрока В q^* = ( .

Задача: Найти решение матричной игры Ответ: ,

В данной лекции были рассмотрены два примера матричных игр, в которых у первого игрока ровно две стратегии, а у второго игрока произвольное количество стратегий. Такие игры можно решить графическим способом.

Разберем теорему, дающую способ решения матричных игр, в которых и у первого, и у второго игрока произвольное количество стратегий. В общем случае любая матричная игра с произвольным числом стратегий у игроков может быть сведена к паре взаимно двойственных задач линейного программирования, и эти задачи имеют оптимальные решения.

Теорема. В любой матричной игре у игроков есть оптимальные смешанные стратегии.

Доказательство. Пусть рассматривается игра с платежной матрицей A (1.1), все элементы которой строго положительны; и — смешанные стратегии первого и второго игрока.

Математическое ожидание выигрыша первого игрока при любом выборе игроками своих смешанных стратегий р и q будет положительным, так как все элементы платежной матрицы положительны, среди неотрицательных есть хотя бы одно строго положительное число и среди неотрицательных также есть хотя бы одно строго положительное.

Пусть первый игрок выбирает такую стратегию р, чтобы математическое ожидание его выигрыша независимо от того, какую стратегию выберет второй игрок, было не меньше некоторой гарантированной величины r (нижняя цена игры , поскольку все платежи , r не меньше , поэтому ):

(1.2)

При этом ; ;

Введем новые обозначения

,

и разделим все неравенства системы (1.2) на положительное число r, получим следующую систему:

(1.3)

При этом ; ; .

Если бы , то переход от (1.2) к (1.3) был бы невозможен, т.к. при делении неравенства на отрицательное число знак меняется на противоположный, а на нуль делить нельзя.

Цель первого игрока – максимизировать свой гарантированный выигрыш r или, соответственно, минимизировать величину .

Следовательно, приходим к задаче линейного программирования для первого игрока:

,

, (1.4)

;

Аналогичные рассуждения с позиции второго игрока приводят к задаче линейного программирования, двойственной к задаче для первого игрока:

,

, (1.5)

;

Поскольку все , можно подобрать такие достаточно большие положительные числа , чтобы для всех выполнялись неравенства .

Например, ,

Следовательно, задача (1.4) имеет допустимое решение.

Допустимым решением задачи (1.5) является, очевидно, нулевой вектор.